Espace vectoriel topologique

nyadis
nyadis
dans Topologie
Bonjour à tous. Je débute dans la notion d'espace vectoriel topologique et j'aimerais démontrer que si j'ai une partie M d'intérieur non vide d'un espace vectoriel topologique E alors M=E
il est déjà clair que M soit une partie de E maintenant je m’intéresse au sens inverse.
Merci de vos idées.

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Comprends-tu déjà l'idée de ce résultat ? Sais-tu le faire si je remplace, disons, espace vectoriel topologique par espace vectoriel normé ?
  • Chalk
    Chalk
    Il doit manquer une hypothèse, du genre $M$ est un sous-espace vectoriel, sinon c'est faux à moins que je ne sois vraiment pas réveillé B-)-
  • Zig
    Zig
    Oui ça manque d'hypothèses...
    Mais bon, petit lemme utile : dans un groupe topologique, tout sous-groupe d'intérieur non vide est ouvert et fermé...
  • nyadis
    nyadis
    Chalk
    oui effectivement j'ai omis cette hypothese merci
  • nyadis
    nyadis
    Zig
    merci pour le lemme cela clarifie mon problème mais la non preuve de ce lemme me laisse encore un insatisfait.

    J'aimerais avoir une ébauche de preuve si possible.
  • Zig
    Zig
    Si H est un ss-groupe de G topologique, et que H est d'intérieur non vide, alors :
    1) H est ouvert : on vérifie que H est voisinage de tous ses points, sachant qu'il est voisinage d'au-moins un d'entre eux par hypothèse et que les translations transportent les ouverts...
    2) H est fermé : le complémentaire de H dans G est une réunion de translatés de H... et sachant que H est ouvert...
  • christophe c
    christophe c
    nyadis: c'est la définition**. Il n'y a rien à faire (et tu devrais corriger ton premier post pour la coquille).

    ** désabrège le fait que $xu$ tend $u$ vers quand $x$ tend vers $1$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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