Filtre de Cauchy
Bonjour
on se donne un espace vectoriel topologique X et A une partie de X. On dit que un filtre F converge vers x $\in$ X si F contient le filtre de voisinage de x.
Un filtre F sur A est dit de [large]C[/large]auchy si quel que soit le voisinage V de 0, il existe J $\in$ F tel que J-J inclus dans V.
1) Montrer que tout filtre convergent est de cauchy sur X
2) Montrer que A est complet ssi tout filtre de [large]C[/large]auchy de A converge vers un élément a de A.
J'ai eu à montrer la première question donc que tout filtre convergent est de [large]C[/large]auchy mais par contre la seconde me pose des difficultés parce que je ne sais pas comment rendre utile l’hypothèse de complétude.
Merci de vos réactions.
[En toute occasion, Augustin Cauchy (1789-1857) prend une majuscule. AD]
on se donne un espace vectoriel topologique X et A une partie de X. On dit que un filtre F converge vers x $\in$ X si F contient le filtre de voisinage de x.
Un filtre F sur A est dit de [large]C[/large]auchy si quel que soit le voisinage V de 0, il existe J $\in$ F tel que J-J inclus dans V.
1) Montrer que tout filtre convergent est de cauchy sur X
2) Montrer que A est complet ssi tout filtre de [large]C[/large]auchy de A converge vers un élément a de A.
J'ai eu à montrer la première question donc que tout filtre convergent est de [large]C[/large]auchy mais par contre la seconde me pose des difficultés parce que je ne sais pas comment rendre utile l’hypothèse de complétude.
Merci de vos réactions.
[En toute occasion, Augustin Cauchy (1789-1857) prend une majuscule. AD]
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Réponses
A ma connaissance, dans le cas non métrisable la définition est :
X est complet ssi tout filtre de Cauchy est convergent.
Auquel cas la question 2 est triviale.
Mais peut-être as-tu une autre définition ?
Nyadis a la mauvaise habitude de poser ses questions à plusieurs endroits, ce qui est une forme d'impolitesse.
Cordialement.
Bonjour je ne savais pas que c'était une forme d'impolitesse au vu de la différence de forum. Mon intention était juste d'avoir plusieurs avis sur la question.
Merci. dans mon cours la définition porte sur les suites en ceci que toute suite généralisé de [large]C[/large]auchy converge.
Je pense qu'il est question d'attendre cette définition ou du moins d'en démontrer une autre équivalente.
[Augustin Cauchy (1789-1857) prend toujours une majuscule. AD]
que penses-tu de ceux qui vont perdre leur temps à rédiger une réponse alors que tu l'as déjà eue sur l'autre forum ?
Je trouve aussi que c'est impoli de poser la même question sur deux forums simultanément.
Deux indications :
$\Rightarrow$ : Étant donné un filtre de Cauchy, choisis un point dans chaque élément de ton filtre (on indexe les points pris par les éléments du filtre dans lesquels ont les a pris) et considère la suite généralisée obtenue en ordonnant ces points par l'inclusion inverse des éléments du filtre.
$\Leftarrow$ : Étant donnée une suite généralisée de Cauchy, considère le filtre des parties qui contiennent tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.