L'ensemble vide est ouvert et fermé

Quelle est la définition d’un ouvert et d’un fermé ? Ou plutôt d’une topologie ?

Si tu admets (ou que tu démontres) que l'un des deux est ouvert alors l'autre est automatiquement fermé puisqu'ils sont justement complémentaires l'un de l'autre.
Le fait que l'ensemble vide ou que l'espace topologique lui-même soient des ouverts est souvent inclus dans la définition d'une topologie (même si ce n'est pas nécessaire).
Si la topologie est définie par une métrique, alors le fait que l'espace topologique soit ouvert est évident (il suffit de prendre, pour chaque élément $x$ de l'espace, une boule ouverte de centre $x$ et de rayon $1$), le fait que l'ensemble vide soit ouvert est aussi évident puisque l'ensemble vide vérifie trivialement toutes les propriétés du type "quel que soit $x$ appartenant à $E$".

Je te le prouve à partir d'autres propriétés des topologies. Tu prends n'importe quel ensemble $A$ inclus dans $E$. Puis $U:=$ la réunion des ouverts inclus dans $A$ et $V:=$ la réunion des ouverts disjoints de $A$. Et bien $U\cap V$ étant un ouvert et étant vide..

Pardon pour le délai. Si aucun ouvert non vide n'est inclus dans A alors la réunion des ouverts inclus dans A est l'ensemble vide. Qu'est-ce qui coince?

Rappel: la réunion des éléments de Truc est l'ensemble des $x$ tels qu'il existe au moins un élément $y\in Truc$ tel que $x\in Y$

Oui ok, bon alors là, je peux te dire qu'il y aurait beaucoup à dire et que ce que tu pointes est un cas particulier perdu dans une mer, et même un océan de "trous psychologiques" importants possibles.

Globalement, le plus grave n'étant d'ailleurs pas notationnel, mais en amont, via l'oubli que les maths sont déductives.

Concrètement ça va te donner des gens qui diront "j'ai parfaitement compris" face à des raisonnements totalement foireux et "non déductifs", juste parce que ça caresse des SENTIMENTS-doctrinaires qui leur sont familiers et :

tu auras aussi l'opposé, des gens qui face au déductif diront "je n'ai rien compris" car ils ne comprennent que ce qui ne l'est pas (au titre que le déductif semble ne rien dire).

Au final, on ne sait jamais trop sur une seule déclaration si "c'est vraiment compris".