L'ensemble vide est ouvert et fermé
Svp j'ai besoin d'explication pourquoi on dit que l'ensemble vide et son complémentaire E sont ouverts et fermés en même temps ?
Et merci, cordialement.
Et merci, cordialement.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
un ouvert c'est que tout un élément de l'ensemble en peut former une boule qui le contient et on dit q un ensemble fermer si e seulement si son complémentaire et ouvert
Le fait que l'ensemble vide ou que l'espace topologique lui-même soient des ouverts est souvent inclus dans la définition d'une topologie (même si ce n'est pas nécessaire).
Si la topologie est définie par une métrique, alors le fait que l'espace topologique soit ouvert est évident (il suffit de prendre, pour chaque élément $x$ de l'espace, une boule ouverte de centre $x$ et de rayon $1$), le fait que l'ensemble vide soit ouvert est aussi évident puisque l'ensemble vide vérifie trivialement toutes les propriétés du type "quel que soit $x$ appartenant à $E$".
Je comprends ce que tu dis.
Mais ça peut coincer, dès que par exemple il n’y a pas d’ouverts (non vides) inclus dans A, ce qui fait qu’on se repose la question. J’espère que tu vois ce que je veux dire.
Rappel: la réunion des éléments de Truc est l'ensemble des $x$ tels qu'il existe au moins un élément $y\in Truc$ tel que $x\in Y$
J’ose dire que c’est une question « psychologique ».
La question : « vide est-il ouvert » ?
On prend la réunion de tous les ouverts inclus dans A.
« Mais oui, mais si on n’en a pas ? Sauf peut-être le vide... dont je ne sais pas s’il est ouvert... »
Je ne m’oppose pas à ton discours, je qu’il peut le pas suffire.
Globalement, le plus grave n'étant d'ailleurs pas notationnel, mais en amont, via l'oubli que les maths sont déductives.
Concrètement ça va te donner des gens qui diront "j'ai parfaitement compris" face à des raisonnements totalement foireux et "non déductifs", juste parce que ça caresse des SENTIMENTS-doctrinaires qui leur sont familiers et :
tu auras aussi l'opposé, des gens qui face au déductif diront "je n'ai rien compris" car ils ne comprennent que ce qui ne l'est pas (au titre que le déductif semble ne rien dire).
Au final, on ne sait jamais trop sur une seule déclaration si "c'est vraiment compris".
Certaines rédactions sont mieux comprises par « bidule » et il n’est pas facile de savoir pourquoi.
D’ailleurs « comprise » n’est pas un mot pertinent. Il vaudrait mieux dire « les preuves sont acceptées » que « la rédaction est comprise ».
Avec les nuances arbitraires.
Ici, typiquement, c’est cet ensemble vide, mal appréhendé qui gêne. Je n’en fais pas le reproche, ça m’arrive bien souvent (espérons de moins en moins). Et dans ce cas, il faut retourner aux définitions, strictement et s’y tenir. Et c’est ce que tu dis ensuite : les règles déductives doivent emporter le débat.