Topologie et catégories

Ce sont des questions très profondes.
Il serait difficile d'épuiser le sujet en quelques messages sur un forum, mais en gros la (les) réponses sont données par la théorie de l'homotopie motivique et la théorie homotopique des schémas.
Il faut comprendre que la façon dont on prescrit une structure homotopique sur une catégorie n'est pas de prescrire les homotopies au sens naif, mais c'est la données des équivalences d'homotopies (faibles), des fibrations et des cofibrations qui fait ce travail. C'est ce qu'on appelle une structure de (catégorie) modèle.

Mais ces structures là ne sont pas implémentés directement sur la catégorie des variétés (lisses sur un corps disons) mais sur des catégories plus grosses typiquement des prefaisceaux simpliciaux sur la catégorie des variétés lisses sur k (à un grain de sel pres).
A partir de là il est possible de définir une théorie homotopique où le rôle de $I$ l'intervalle sur lequel on construit les homotopies est remplacé par la droite affine.
Il y a plusieurs approches de ce genre d'idée.

Je peux developper plus avant et/ou donner des references.

Mais dans tous les cas il est bon de connaitre la théorie homotopique topologique, sous le point de vue de Quillen (donc des catégories modèles), et la théorie sable de l'homotopie (donc les spectres topologiques), puisque c'est essentiellement la théorie homotopique stable qui est bien développée dans le cadre motivique (meme si y a pas ma de choses faites dans le cas instable, mais je le connais beaucoup moins).

Edit: en fait j'ai un peu dériver dans mon messages en parlant uniquement de ces constructions dans le cadre algébrique. Ce que je volais dire en fait c'est que ce qui joue le role de structure homotopique sur une catgéorie c'est la notion de catégorie modèle. Cette approche est typiquement implémentée dans le cadre de catégories homotopiques topologique (la catgéorie des espaces topologiques, ou des CW complexe ou des ensembles simpliciaux, la catégorie des spectres et leurs catégories homotopiques) et dans le cadre motivique (la catgéorie des espaces motiviques et la catgéorie des spectres motiviques et leurs catgéories homotopiques)

ignatus: Je parlais d'homotopie au sens "chemin dans un espace". NoName a tout à fait raison, mais c'est un cadre différent.

Dès qu'on a une classe d'équivalences faibles (des morphismes dont on souhaite prétendre que ce sont des isomorphismes) on se retrouve avec une "théorie homotopique" (la notion de catégorie de modèles a des données en plus qui sont là pour rigidifier la situation en quelque sorte, mais la théorie homotopique sous-jacente ne dépend que des équivalences faibles), donc on peut effectivement faire de l'homotopie avec des schémas en ce sens - mais c'est différent de ce qu'on imagine au premier abord.
La similitude vient essentiellement de ce qu'on décrète en quelque sorte que $\mathbb A^1$ (la droite, analogue de la droite réelle $\mathbb R$) est contractile, donc ça rappelle la situation topologique, mais c'est très différent. Je n'en dirai pas plus parce que je n'y connais pas assez, ni en géométrie algébrique, ni en $\mathbb A^1$-homotopie.

Il y a plusieurs choses:

1- Il y a un foncteur $|-|$ qui prend une catégorie $C$ et renvoie un espace $|C|$. Ce foncteur a la propriété fondamentale suivante: si $\eta : F\to G$ est une transformation naturelle entre foncteurs $F,G : C\to D$, alors on peut en tirer une homotopie $|\eta|$ entre $|F|$ et $|G|$. Cela permet donc une analogie entre catégories et espaces, dans laquelle les foncteurs jouent le rôle des applications continues et les transformations naturelles celui des homotopies.
Ce lien est "imparfait" au sens où $|F|$ peut être une équivalence d'homotopie sans que $F$ soit une équivalence de catégories (par exemple si $F$ est adjoint à droite ou à gauche); mais il est "surjectif". En fait en étant bête (mais pas trop) on peut prendre les catégories comme modèle de la théorie homotopique des espaces.

2- Lorsqu'on retreint ce qui précède aux groupoïdes, càd aux catégories dont tous les morphismes sont inversibles, on obtient quelque chose de beaucoup plus intéressant. En effet, si $C$ est un groupoïde, alors le groupoïde fondamental de $|C|$ est équivalent à $C$ - et en fait, $|C|$ n'a aucun groupe d'homotopie supérieur, c'est ce qu'on appelle un $1$-type. On peut en fait montrer que les groupoïdes et les $1$-types définissent des théories homotopiques équivalentes. C'est le premier échelon de l'hypothèse homotopique de Grothendieck (qui est plus ou moins un théorème ou une définition ou encore une partie du cahier des charges)

Plus généralement et plus intuitivement que 1 et 2, ces résultats suggèrent qu'on peut voir un aspect spatial aux catégories, et différents résultats (comme les théorèmes A et B de Quillen) justifient cette idée. Une ($\infty$-)catégorie c'est un peu un espace mais où les chemins ne sont pas forcément réversibles.

Mais bon, à part le mot "catégorie de modèles" ou "équivalence faible" qui apparaîtrait aux 2 endroits, c'est tout à fait différent que ce que te suggérais NoName; et on est complètement parti du monde des topologies de Grothendieck

En fait pour developper mes remarques, le point que je décrivais c'est que justement la théorie est "globale" et tu ne peux pas définir une bonne théorie de l'homotopie en regardant uniquement un unique schéma. En tout cas moi je ne sais pas le faire.

Bien sur on veut définir une théorie de l'homotopie pour $S=\mathcal{Sm}_k$, la catégorie des schémas algébriques lisse sur un corps $k$. Mais cette catgéorie est tres mauvaise d'un point de vue de l'homotopie car elle n'est pas du tout stable par colimite. Les quotients n'existent pas en genéral par exemple, et quand on sait à quel point le fait de pouvoir prendre un quotient est crucal en théorie de l'homotopie on voit que ca va être tres compliqué de faire quoi que ce soit dans cette catégorie.

L'idée est donc de plonger cette catégorie dans une catgéorie qui elle a de bonnes propriétés homotopiques, par exemple la catégorie des ensembles simpliciaux. Le moyen le plus simple pour faire ça est de regarder les prefaisceaux simpliciaux sur $S$. En fait, pour des raisons plus techniques, on regarde les faisceaux sur $S$ pour la topologie de Nisnevisch, qui est en quelque sorte à mi chemin entre la topologie de Zariski et la topologie étale. Un morphisme Nisnevisch est étale, mais la topologie est moins fine, par exemple les corps sont Nisnevisch-acycliques, alors qu'ils ne sont pas du tout étale-acyclique.

Y a pas besoin de connaitre grand chose sur la topologie de Nisnevisch, si ce n'est qu'elle est sous canonique (les foncteurs représentables sont des faisceaux de Nisnevisch).

Cela permet de voir et les ensembles simpliciaux et les schémas lisses comme vivant dans la même catégorie, les schémas comme les representables (d'apres ce que je viens de dire) et les sSet (ensembles simpliciaux) bah comme les faisceaux constants.

C'est la catégorie des espaces motiviques. Toutes les bonnes opérations des ensembles simpliciaux quotient, colimite... et surtout le smash-product, sont héritées par cet espace, il suffit de les définir ponctuellement (i.e après évaluation sur un schéma). En fait il faut définir une version pointée de la théorie mais c'est très facile.

A partir de là il faut faire un premier choix, est ce qu'on s'intéresser à la théorie instable ou la théorie stable.

Comme dans le cas topologique, la théorie stable est "plus simple", même si elle demande plus d'effort au début, et c'est grâce à elle qu'on peut étudier les théories cohomologies (au sens Eilenberg MacLance sans l'axiome d'ordinarité sur le point) sur les schémas (ce qui est ce qui m'intéresse personnellement).

Pour faire ça, il faut faire deux choses. Définir la notion de spectre motivique, qui sera l'analogue de la notion de spectre topologique/simplicial pour les CW-complexes ou ensemble simpliciaux.
Et ensuite définir la structure de modèle sur la catégorie qu'on a obtenu.

On peut choisir de faire de la théorie instable et là il faut définir une structure modèle, directement sur la catégorie des espaces (motiviques).

Dans les deux cas:
1) il se passe un phénomène nouveau c'est qu'il y a deux "cercles" dans la théorie, le cercle simplicial classique, et $\mathbb{G}_m$, (enfin homtopiquement on s'attend à ce que ce soit un cercle), il y a donc deux notions de suspensions
2) on veut "inverser" $\mathbb{A}^1$, en fait on veut pas l'inverser, ca ce serait pour la catégorie homotopique et ce serait trop brutal, ce qu'on veut c'est ajouter $\mathbb{A}^1$ aux équivalences faibles, et en fait evidement pas que $\mathbb{A}^1\to k$ mais tous les morphismes qu'on va obtenir par push-out, pull-back etc...Y a un processus pour faire ça de manière formelle, c'est qu'on appelle la localisation de Bousfield.

En fait on doit aussi définir des équivalences faibles Nisnevisch mais je vais pas m'étendre la dessus (essentiellement parce que j'ai jamais vraiment su comprendre clairement pourquoi :-D).

En fait je ne sais pas en dire beaucoup sur la théorie instable, et je ne connais que des choses triviales dessus.

Pour la théorie stable, on peut developper la théorie comme dans le cas topologique.
Vu qu'il y a deux cercles on obtient donc des (faisceaux de) groupes d'homotopies qui sont bigradués, les groupes eux même étant ceux évalués sur le point.
Je peux developper ce sujet bien sur.
L'idée c'est, comme dans le cas topologiques, de construire des théories (co)homologiques à partir de spectres. On peut definir le spectre d'Eileberg-MacLane motivique, qui est... ben l'analogue motivique du spectre d'Eilenberg-MacLane, et qui redonne donc la cohomologie motivique (et les groupes de Chow donc, au, on peut définir $KGL$ qui lui représente la K-théorie ou bien sur... $MGL$ qui représente le cobordisme (et qui est le point de départ de mon intérêt sur le sujet)

Quelques references globales.

A^1-homotopy theory
http://www.numdam.org/article/PMIHES_1999__90__45_0.pdf
qui donne une construction possible et reste quasi exclusivement dans le cas instable, mais c'est l'article "originel"

Ce bouquin
https://www.springer.com/gp/book/9783540458951
est génial aussi et est une overview du sujet (la fin est plus difficile mais elle est trouvable en pdf https://www.math.ias.edu/vladimir/sites/math.ias.edu.vladimir/files/Nordfjordeid_lectures_published.pdf).

Un papier plus vulgarisé par mon ancien mentor
https://www.ams.org/journals/notices/202001/rnoti-p9.pdf

Le bouquin de Goerss-Jardine qui présente toutes les constructions générales et toute l'"algèbre homotopique" utilisée
http://dodo.pdmi.ras.ru/~topology/books/goerss-jardine.pdf

On stabilise en effet deux fois une premiere fois par rapport au (à la suspension du) cercle simplicial $\mathbb{S}^1$, puis une seconde fois par rapport au cercle de tate $\mathbb{G}_m$.
C'est pas forcement plus subtil, mais c'est en tout cas une spécificité de la théorie. Mais ca ça nous donne une structure modèle pour la theorie homotopique stable (enfin j'ai pas parlé de la structure de modèle en tant que telle mais disons que cela donne une catégorie sur laquelle on va pouvoir implémenter une structure de modèle)
Jardine a donné une construction différente, qui utilise la notion de spectre motivique symétrique, que je n'ai plus en tête et je me demande si une unique suspension n'est pas suffisante dans ce cas, bien que ca m'étonnerait un peu.

En fait le smash-product est compliqué à définir dans cas stable (c'est déja le cas dans le cas topologique en fait, la construction du smash-product au niveau des spectre est longue et non triviale de mémoire, bien sur sauf dans le cas où tu smash avec un CW-complexe), de sorte qu'il y a plusieurs structures de modèles qui coexistent pour la catégorie homotopique stable (et qui ont des catégories sous jascentes differentes), notamment pour pouvoir construire le smash-product plus facilemment.

Par contre il y a une équivalence d'homotopie entre $\mathbb{S}^{2,1}=\Sigma_s \Sigma_{t} \mathbb{S}^0$ et $\mathbb{P}^1$ (j'omet les points bases) de sorte à ce que si l'on s'interesse à ce qu'on pourrait appeler la partie "Hodge" des théories cohomologiques, tu peux regarder uniquement la notion de $\mathbb{P}^1$-spectre motivique, où on stabilise par rapport à $\mathbb{P}^1$.

C'est possible, je suis pas trop versé en algèbre homotopique en fait :-D, je viens vraiment de la géométrie.

Cela dit, si tu fais ce que tu dis (de ce que j'en comprends) tu n'obtiendras pas les bon objets, je pense que tu n'obtiendras que la stabilisation par rapport au cercle simplicial.

Un intérêt en tant que tel, je ne sais pas, par contre ce qui est sûr c'est qu'on ne peut pas raisonnablement s’arrêter là, car si tu fais ça, tu loupes les morphismes de transfert (de revêtement) pour une extension galoisienne de corps (qui est donc algébriquement un revêtement), ils ne sont pas dans la catégorie en question. Je n'ai plus en tête précisément l'argument mais je peux le retrouver si tu veux.

C'est très possible, mais j'ai une totale ignorance de l'homotopie équivariante.

@Maxtimax:

Tu dis que la construction des smash produits de spectres avec les $\infty$-catégories est "simple". On parle de "simple" à quel point? i.e vraiment "simple" ou "simple après 3000 pages de techniques sur les $\infty$-cat"?
Je ne connais l'homotopie stable que d'assez (très) loin, et j'avais déjà entendu dire que l'un des grands atouts des $\infty$-catégories a été de justement de simplifier tout ce qui touche aux smash produits et aux structures monoïdales en général, du coup je pose la question sous cette forme un poil tendancieuse pour avoir une idée de cette "simplification".

Ben le principal phénomène nouveau c'est la bigraduation. Mais c'est quand même un phénomène assez central.

La théorie homotopique stable sert (entre autres) à construire et étudier des théories cohomologiques. Dans la catégorie topologique, si $E$ est un spectre, alors $E$ défini une théorie homologique sur la catgéorie des spectres ou des $CW$-complexes (ou des $CW$-paires d'ailleurs) par la formule bien connue $$E_\bullet(X)=[\Sigma^\infty\mathbb{S}^\bullet, E\wedge X].
$$ On définit également une théorie cohomologique par $$E^\bullet(X)=[X, \Sigma^\bullet E].

$$ Le théorème de représentabilité de Brown, assure que la réciproque est vraie.

Évidement ces groupes sont gradués et c'est en accord avec l’expérience que l'on en a usuellement.

Dans le cas motivique, on le sait depuis longtemps, les choses doivent être bigradués. L'exemple le plus simple de ça est la théorie de Hodge (qui est un foncteur de réalisation de la catégorie des motifs) qui est bigraduée.
C'est aussi le cas pour la cohomologie motivique, les groupes de Chow supérieurs etc...
C'est vraiment une spécificité du monde motivique.

Du coup c'est là que la théorie devient différente. La présence des deux cercles différents (simplicial et Tate) donne la bigraduation que l'on cherche. Et bien sur les théories cohomologies crées sont relativement différentes, même si des phénomène similaires interviennent (l'orientation etc...), enfin aussi différentes que sont la cohomologie et la cohomologie motivique, ou la K-théorie et la K-théorie algébrique.

D'accord Maxtimax, merci pour ces explications. Dit comme ça, ça semble effectivement plus "simple" :-D.

Je faisais juste un peu le rabat-joie car j'ai pu constater par moi-même que le moindre fait "intuitif et complétement vrai pour les $1$-catégorie" peut être très dur a prouver dans le monde infini-catégorique, et que toute les "moralements" du monde ne font pas une preuve. Mais je suis aussi d'accord que c'est probablement le modèle quasi-catégorique qui veut ça. Alors du coup, quand je vois des grands avocats des infini-catégories, je prends mes précautions (:P).

Emily Riehl et Dominic Verity sont en train de développer des choses sur la théorie "synthétique" des infini-catégories. Mais là encore, je crois que même si c'est déjà plus simple que les trucs de Lurie, ce n'est pas aussi "trivial" que ce qui se passe 1-catégoriquement. Pour le peu que j'en sais, il me semble que des faits "simples" (genre: si $C$ a une limite pour tout diagramme d'une forme $J$ donnée, alors il y a un foncteur "limite" $\mathrm{Fun}(J, C) \to C$ bien défini) ne se prouvent toujours pas "simplement".

PS: (et merci pour la définition des foncteurs polynomiaux/analytiques dans l'autre fil, je ne connaissais pas (:D )

Je ne connaissais pas Riehl-Shulman et je ne savais pas qu'il y avait de l'HoTT qui traine là dedans ! Tu sais s'il y a des références accessibles là dessus, par exemple des exposés introductifs là dessus?

Je dois avouer ne connaitre HoTT que de nom, si tu connais de bonnes références là dessus, ça m'intéresse. Mais une question peut-être: est-ce globalement accessible pour quelqu'un qui n'est pas très versé en logique? (J'essaye de m'initier petit à petit, mais ça prend pas mal de temps).

D'acc, merci !

On obtient un CW-complexe, peut-être plus géométriquement quelque chose qui n'est pas trop loin d'un "complexe simplicial": un machin qui est un recollement de simplexes $|\Delta^n|$.

Je rappelle que $|\Delta^n| = \{x\in \R_{\geq 0}^{n+1}\mid \sum_i x_i = 1\}$ - je te conseille de les dessiner pour $n=0,1,2,3$ pour avoir une idée de leur tête, et ensuite avoir une idée de la tête qu'un recollements de tels machins peut avoir. Par exemple essayer de voir comment construire le cercle $S^1$ par de tels recollements, la sphère $S^2$, avec plus d'audace le plan projectif $\mathbb RP^2$, ou le tore $\mathbb T = S^1\times S^1$, etc. etc.

Pour les catégories, ça va donner des exemples un peu bizarres parce que pour la plupart ils vont être de dimension infinie.

Je donne quand même quelques exemples simples :

Si ta catégorie $C$ est juste un morphisme $a\to b$. Alors je me donne deux sommets, que je note aussi $a$ et $b$, et j'ai un morphisme qui devient une arête. "on ne compte pas les identités", donc je m'arrête là parce que je ne peux rien composer de plus: ainsi l'espace que j'obtiens est juste $[0,1]$ (qui ressemble beaucoup à la description graphique de ma catégorie)

Exercice: faire de même si on a deux objets distincts $a,b$ dans $C$ et deux morphismes $a\to b$ distincts.

Je prends désormais une catégorie qui a 4 objets, $a,b,c,d$ et un unique morphisme $a\to x$ pour tout $x\neq a$, et un morphisme $b\to d$, $c\to d$. Alors je vais avoir $4$ sommets, $a,b,c,d$. Je vais ensuite avoir 5 arêtes: une de $a$ vers chaque sommet, une de $b$ vers $d$ et une de $c$ vers $d$.
Ensuite je vais avoir deux triangles, en effet $a\to b\to d = a\to d$ (puisqu'il n'y a qu'un morphisme $a\to d$ !) et $a\to c\to d = a\to d$. Ces deux triangles ont pour arêtes $a\to b, b\to d, a\to d$ et $a\to c, c\to d ,a\to d$ respectivement. En particulier ils partagent une arête et donc $|C|$ est un losange.

Un dernier exemple pour la route : je reprends 4 objets comme plus haut, mais cette fois-ci j'ai deux morphismes $a\to c, a\to d$ et $b\to c, b\to d$. Alors je ne vais avoir aucune composition donc aucun triangle, j'ai juste mes sommets et mes arêtes, qui forment (il faut le dessiner) un cercle (en fait deux triangles vides à qui il manque un côté, mais qui sont collés sur leurs sommets; mais c'est homéomorphe à un cercle)

Exercice : trouver une catégorie simple telle que $|C|$ est homotopiquement équivalent à un $8$

Exercice: Dans tous les cas comparer ce qu'on obtient à une "représentation graphique de $C$".

Attention pour ce dernier exercice on peut avoir l'impression qu'on reste de basse complexité ou de basse dimension, mais c'est loin d'être le cas. En fait, dès que $C$ a un "cycle de morphismes" (par exemple dès qu'il y a un endomorphisme non trivial), $|C$| va être de dimension infinie (par exemple si on a un endomorphisme non trivial $f$, on a un $n$-simplexe non dégénéré $(f,...,f)$ donc on est de dimension $\geq n$).
De plus, même en se restreignant aux catégories qui viennent d'un ensemble ordonné, on peut représenter n'importe quel type d'homotopie (faible, mais fort du coup pour les espaces non pathologiques) par une catégorie. Donc la complexité peut être énorme, même sans aucun cycle (il n'y a pas de cycle dans les ordres bien sûr).
Donc les exemples ont l'air simple uniquement parce que je les ai choisis pour ça, parce que je ne voulais pas aller en trop haute dimension