Approche de l'homotopie par les flots

Bonjour
Je pose $A$ un fermé de $\mathbb{R}^2$ (topologiue usuelle).
Je cherche un point de vue sur l'homotopie entre chemins dans $\mathbb{R}^2 \setminus A$ qui semble différent de celui défini sur wikipédia :

deux chemins $\gamma_0$ et $\gamma_1$ de $\mathbb{R}^2 \setminus A$ sont dits homotopes lorsqu'il existe une application continue $H : [0;1]^2 \to \mathbb{R}^2 \setminus A$ telle que $t \mapsto H(t,0)$ est égale à $\gamma_0$ et $t \mapsto H(t,1)$ est égale à $\gamma_1$.

Je serais intéressé par deux approches de cette notion.

1) Une approche "point par point" : $\forall t\in [0;1]$, on a une trajectoire de $\gamma_0(t)$ vers $\gamma_1(t)$ et des bonnes propriétés (un flot en gros).
En soi, une idée proche de l'assertion suivante (que j'ai écrite rapidement, et qui est probablement fausse) :
deux chemins $\gamma_0$ et $\gamma_1$ homotopes dans $\mathbb{R}^2 \setminus A$ si et seulement s'il existe un champ de vecteurs $X : \mathbb{R}^2 \setminus A \to \mathbb{R}^2$ continu tel que le flot associé $\phi : \Omega \to \mathbb{R}^2 \setminus A$ défini sur $\Omega$ un voisinage de $\{ 0 \} \times \mathbb{R}^2 \setminus A$ dans $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \setminus A$ vérifie :
i) $\forall x \in \mathbb{R}^2 \setminus A,\ \phi(\text{ . }, x)$ est définie au moins sur $[0 ; 1]$
ii) $\forall t \in [0 ; 1],\ \phi(1, \gamma_0(t)) = \gamma_1(t)$
Si de plus $\gamma_0$ et $\gamma_1$ sont des chemins injectifs, alors on peut supposer que $\phi$ est injective.

2) J'imagine que $\gamma_0$ est collé au plan, et on "froisse" $\mathbb{R}^2$ (et donc $\mathbb{R}^2 \setminus A$) pour amener $\gamma_0$ sur $\gamma_1$.
En cherchant à l'écrire formellement, c'est assez proche de l'approche 1), mais peut-être que la 2) a déjà été imaginée, et pas la 1).

Si quelqu'un a des idées ou des références mentionnant l'une de ces deux approches, je suis preneur.