Partie fermée de R
Bonsoir,
Je m'intéresse à une partie $F_n(\epsilon)$ de $\mathbb{R}$ définie ci-après. En particulier, je cherche à démontrer que $F_n(\epsilon)$ est fermée mais je ne vois pas comment procéder. Les données de mon problème sont
$f \in \mathcal{C}(\mathbb{R_{+}}, \mathbb{R})$ telle que, pour tout $x > 0$, $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} f(nx) = 0$
et
$F_n(\epsilon) = \left\{ x / \forall p \geq n, | f(px)| \leq \epsilon\right\}$.
Pourriez-vous m'aider SVP ?
Je m'intéresse à une partie $F_n(\epsilon)$ de $\mathbb{R}$ définie ci-après. En particulier, je cherche à démontrer que $F_n(\epsilon)$ est fermée mais je ne vois pas comment procéder. Les données de mon problème sont
$f \in \mathcal{C}(\mathbb{R_{+}}, \mathbb{R})$ telle que, pour tout $x > 0$, $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} f(nx) = 0$
et
$F_n(\epsilon) = \left\{ x / \forall p \geq n, | f(px)| \leq \epsilon\right\}$.
Pourriez-vous m'aider SVP ?
Réponses
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Pour tout $p \geq n$, la fonction $f_p : x \mapsto f(px)$ est continue puisque $f$ l'est. Ton $F_n(\varepsilon)$ n'est rien d'autre que $$\bigcap_{p \geq n} f_p^{-1}([-\varepsilon, \varepsilon]).$$
-
Merci beaucoup. Je n'y avais pas pensé.
Bonne soirée
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