Topologie définie par une famille de normes

Fulgrim
Fulgrim
dans Topologie
Bonjour,

Soit $p=(p_i)_{i\in I}$ une famille (infinie) de normes $p_i$ sur un espace $X$.
Si on voulait définir une métrique "produit infini", les boules ouvertes centrées en $x$ de rayon $r$ définies par cette famille $p$ seraient-elles données par
$$\{ y \in X \mid p_i(x,y) < r ,\quad \forall i \in I\},
$$ ou bien par
$$\{ y \in X \mid p_i(x,y) < r ,\quad\forall i \in J \text{ tq } J\subset I \text{ fini } \}\quad ?
$$ Je suis face à une topologie définie par une famille infinie de semi-normes, et je me demande à quoi elle correspond.
Merci :)

Réponses

  • Titi le curieux
    Titi le curieux
    Bonjour,

    Je ne suis pas sûr que l'un ou l'autre de tes cas ait un usage quelconque.
    Le premier correspondrait à définir la nouvelle distance $d(x,y)$ comme le maximum de toutes les autres distances, ce n'est pas nécessairement défini même dans des cas où toute les distances seraient topologiquement équivalentes (ou même juste équivalentes, exemple: prends $\forall n\in \mathbb{N}^*, p_n=np_1$).
    Pour le second, je suppose que tu as pensé à une analogie avec la topologie produit, mais là, on ne sait pas qui est $J$ et du coup, ce n'est pas défini non plus.

    Je suis désolé, je n'ai pas étudié les semi-normes, mais je suppose que tu dois définir une nouvelle topologie à partir des topologies définie par les semi-norme (par exemple en considérant que c'est la plus petite topologie qui les contient toutes, c'est-à-dire qu'elle admettrait une pré-base coïncidant avec l'union de toute les topologies des semi-normes).
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    Oui j'ai pas compris ta deuxième formule. Qui est $J$ ? Il y a un $\forall J$ sous-entendu ? Si oui, c'est la même chose que l'autre... Si tu dis "machin-truc est une boule si et seulement s'il existe $J \subset I$ tel que mon ensemble est de la forme patatipatata", c'est différent et c'est ça qui engendre la topologie qu'on associe généralement à la famille de semi-normes (la moins fine qui les rende continues). Mais on n'appelle pas ça "boule".
  • Fulgrim
    Fulgrim
    Je crois que @Georges Abitbol a mis le doigt sur la notion qui me manquait.
    Désolé j'ai bricolé 2 définitions à partir d'un document qui considérait ça comme acquis, et mes notions de topologie produit infini remontent un peu...

    Si je résume, ayant mes $I$ distances, je peux créer la topologie (qui ne dérivera pas forcément d'une distance) en disant :
    Les "boules" sont les ensembles tels qu'il existe $J\in I$ fini tel que $$\{ y \in X ~|~p_i(x,y)<r~\forall i\in J\},$$et les ouverts sont alors les réunions quelconques de "boules".
    C'est exact ?

    Et avec ça j'obtiens toutes les propriétés attendues, par exemple :
    - c'est la topologie la moins fine qui contienne toutes les topologies dérivant des $p_i$.
    - $x_n\mapsto x$ si et seulement si $p_i(x_n,x) \mapsto 0$ pour tout $i\in I$.
    - une base de voisinages peut être les "boules".
    - une autre base de voisinage peut être les "vraies" boules pour une distance $i$ fixée.
    Est-ce aussi exact ?
  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Ce que tu dis dans ton dernier message est exact Fulgrim. C'est la topologie la plus naturelle qu'on peut former à partir d'une famille de normes. Et c'est généralisable pour des semi-normes. Mais il faudrait écrire $p_i(x-y)$ plutôt que $p_i(x,y)$, comme $p_i$ est une norme. Tes "boules" sont plutôt appelées "ouverts élémentaires" (ça n'est pas forcément une terminologie standard, mais c'est mieux que "boule").

    Si $I$ est dénombrable, mettons $I=\Bbb N$, alors $X$ muni de la topologie que tu décris est métrisable. Par exemple, la distance $d(x,y)=\sum\limits_{n\in\Bbb N} \min(2^{-n},p_n(x-y))$ engendre cette topologie. Mais si $I$ est indénombrable, ta topologie n'est en général pas métrisable.
  • Fulgrim
    Fulgrim
    OK merci à vous trois pour votre aide !
    J'ai compris la définition et ça correspond bien à ce qu'il y a écrit dans mon document.

    Mais maintenant j'essaye de démontrer ces propriétés, et j'ai l'impression qu'on pourrait faire encore plus simple.
    Étant donné qu'on veut que les ouverts de chaque topologie $T_{p_i}$ soient tous dans la topologie $T$ qu'on cherche, ne serait-il pas plus simple de dire que la topologie $T$ est engendrée par les "vraies" boules $B_i(x,r)$ ? Ensuite par le fait qu'une intersection finie d'ouverts est ouverte, on retombe bien sur la famille génératrice précédente.
    J'ai l'impression que oui, vu ma toute dernière remarque du message précédent ("une autre base de voisinage peut être les "vraies" boules pour une distance i fixée").

    En revanche la topologie de ma toute première définition est beaucoup trop fine en général.
  • Fulgrim
    Fulgrim
    D'ailleurs, comment montre-t-on que la topologie engendrée par la métrique de @Calli est bien celle recherchée ? Même dans le cas où $I$ contient 2 éléments.
  • Calli
    Calli
    Pouce en haut pour ton avant dernier message : (tu).

    Je ne sais pas de quelle métrique tu parles dans ton dernier message.

    D'ailleurs, quelle différence fais-tu entre ces deux tirets ?
    Fulgrim a écrit:
    - une base de voisinages peut être les "boules".
    - une autre base de voisinage peut être les "vraies" boules pour une distance $i$ fixée.
    Je ne suis pas sûr d'avoir compris ce que tu voulais dire là en fait.
  • Fulgrim
    Fulgrim
    La métrique lorsque $I$ est dénombrable, comment montre-t-on qu'elle génère la bonne topologie ? Je ne trouve pas ça évident même lorsque $I$ n'a que deux éléments.

    Les "boules" sont les "ouverts élémentaires" dans ta terminologie, c'est-à-dire les intersections sur $J\subset I$ fini des "vraies" boules, c'est-à-dire les boules pour une distance $p_i$ en particulier.
  • Calli
    Calli
    Fulgrim a écrit:
    La métrique lorsque $I$ est dénombrable, comment montre-t-on qu'elle génère la bonne topologie ? Je ne trouve pas ça évident même lorsque $I$ n'a que deux éléments.

    Montre que toute boule $B_d(x,r)$ pour $d$ contient un ouvert élémentaire de la forme $\{y\mid \forall i\in[\![0,n]\!], p_i(y-x)< r'\}$. Et montre que tout ouvert élémentaire de la forme $\{y\mid \forall i\in J, p_i(y-x)< r'\}$, pour $ J\subset I$ fini, contient une boule $B_d(x,r)$. Mais il faut sortir son stylo et écrire les choses. Ça ne tombera pas tout seul.
    Fulgrim a écrit:
    Les "boules" sont les "ouverts élémentaires" dans ta terminologie, c'est-à-dire les intersections sur $J\subset I$ fini des "vraies" boules, c'est-à-dire les boules pour une distance $p_i$ en particulier.

    Ah oui, j'avais oublié que tu appelais ça des "boules". C'est vraiment une mauvaise dénomination ^^. Donc je t'avais bien compris hier soir, c'est juste que j'ai oublié entre temps.
  • Fulgrim
    Fulgrim
    OK je devrais y arriver avec ces indications ! Je pensais qu'il y avait une raison évidente.
    Merci beaucoup pour ton aide ! :-)
  • Calli
    Calli
    Non, ça n'est pas totalement évident.

    NB: J'ai changé des $r$ en $r'$ dans mon dernier message. Sinon, on va croire que tous les $r$ sont égaux, ce qui n'est pas le cas.
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