Recouvrement de $\Q$

ompak
ompak
dans Topologie
Bonjour à tous,
une petite question d'existence.

On recouvre Q l'ensemble dénombrable des rationnels par un recouvrement ouvert de mesure finie (par exemple par les ouverts centrés sur les rationnels et de rayon 1/2^n, n entier naturel).
On considère le complémentaire C dans R de la réunion de tous les ouverts de ce recouvrement ; voici la question : exhiber un élément (irrationnel nécessairement) de C.
Est -ce possible en précisant le comptage choisi pour Q, ou cela relève-t-il de l'axiome du choix ou d'autres questions logiques ?
Merci de vos éclairages.

Réponses

  • Titi le curieux
    Titi le curieux
    Bonjour,
    Si le but est juste de montrer un recouvrement de $\mathbb{R}$ privé d'un singleton (contenant un irrationnel) par des ouverts respectant ce que tu dis, ça peut se faire algorithmiquement. Et il y a des cas où je n'ai pas l'impression qu'il y ait besoin de faire appel à l'axiome du choix (un truc simple, pense à un algorithme pour approcher par exemple $\sqrt{2}$).
  • Calli
    Calli
    Bonsoir,
    J'ai l'impression que c'est un raisonnement par l'absurde qui montre qu'il existe un élément dans $C$. Parce qu'on sait que : $\forall \,\text{mesurable} \,X\subset \Bbb R, X=\varnothing \Rightarrow \lambda(X)=\varnothing$. Donc par contraposition classique, $\lambda(C)\neq 0$ implique que $ C\neq\varnothing$. Puis on en déduit $\exists x,x\in C$ mais on a besoin du raisonnement par l'absurde pour cette dernière déduction.
    Donc la preuve de $\exists x,x\in C$ est non constructive et on ne peut pas exhiber d'élément de $C$.
    Et à mon avis, l'axiome du choix n'a rien à voir là-dedans.

    PS: À prendre avec des pincettes. J'ai essayé d'utiliser un peu de logique intuitionniste, alors que je ne suis vraiment pas calé là-dedans.

    PPS: Visiblement j'ai une interprétation différente de la question que Titi.
  • christophe c
    christophe c
    Est -ce possible en précisant le comptage choisi pour Q, ou cela relève-t-il de l'axiome du choix ou d'autres questions logiques ?

    Oui, c'est possible SANS AXIOME DU CHOIX.

    Non, ce n'est pas possible sans axiomes logiques, car rien n'est possible sans axiome (l'ensemble des théorèmes démontrés sans axiomes est vide)

    Du coup ta question est un peu vague.

    Cela étant rappelé, quand tu as une famille d'intervalles inclus dans $[0,1]$ dont la somme des longueurs est $<1$, tu peux assez facilement faire comme si elle était finie, et donc trouver un élément en dehors. Mais dans ce genre de domaine, tu as très peu de choses qui se font en logique intuitionniste** pure, donc sans précision de ton désir, on ne peut pas te dire grand chose de plus.

    ** rien que $([\forall x>0: a\leq x]\to [a\leq 0])$ n'est pas prouvable en logique intuitionniste.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • ompak
    ompak
    Bonjour et merci à Titi qui donne une solution en prenant le problème à l'envers :

    en considérant un recouvrement ouvert de mesure finie (la réunion des ouverts du recouvrement forme un ensemble de mesure finie) de Q, inclus dans l'ouvert : R privé du singleton {racine de 2}, on répond aisément à la question :
    - ce recouvrement de Q est par construction de mesure finie.
    - le réel racine (2) appartient, par construction au complémentaire de la réunion des ouverts du recouvrement.


    PS : désolé : je ne maîtrise pas latex.
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