Espace des appli. bornées est complet

LewisK
LewisK
dans Topologie
Bonjour,

J'ai une proposition dans mon cours dont la preuve est laissée en exercice. Soit $X$ un ensemble quelconque et on note $B(X,F)$ l'espace des applications bornées de $X$ dans $F$ muni des la norme du sup. Alors $F$ complet entraine $B(X,F)$ complet.

Quelqu'un a une piste ? J'ai vraiment du mal à formaliser ce que je dois montrer.

J'ai pris une suite $f_n$ de Cauchy dans $B(X,F)$ ie $\forall \epsilon > 0, \exists n_0, p,q > n_0 \implies || f_p - f_q || \leq \epsilon$. Là je dois montrer que $f_n$ converge vers une application de $B(X,F)$ bornée mais je ne sais vraiment pas comment m'y prendre et je m'embrouille avec les normes.

Réponses

  • Titi le curieux
    Titi le curieux
    Bonjour,
    Ce qui me paraît le plus simple: montre $\forall x \in X$ que la suite $f_n(x)$ converge.
    Ensuite, tu n'auras pas trop de mal à montrer que l'application limite est bornée.
  • LewisK
    LewisK
    Merci pour ta réponse.

    N'a-t-on pas immédiatement : $f_n$ est de Cauchy dans $B(X,F)$ donc pour tout $x$ dans $X$, $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ est de Cauchy dans F, qui est complet, donc $f_n(x)$ converge vers une limite que l'on peut noter $f(x)$ ? Auquel cas il suffirait ensuite d'utiliser l'inégalité : $ || f_n(x) || \leq ||f_n||_{\infty} \leq M$ puisque $f_n \in B(X, F)$ et de passer à la limite.

    J'ai l'impression que quelque chose cloche, au moins au niveau de $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$. Ne devrions-pas avoir $(f_n(x))_{x \in X}$ ? Je suis un peu perdu.
  • Titi le curieux
    Titi le curieux
    Re,
    Je suppose qu'on définit la notion de distance entre deux application bornée $f$ $g$ de $X$ dans $F$ ($F$) par $d(f,g)=\sup \{d(f(x),g(x)), x\in X\}$, donc oui, c'est assez automatique (mais utilise quand même les $\epsilon$ et tout ça).

    Quand je dis la suite c'est à $x$ fixé, et tu prends $(f_n(x))_{n\in \mathbb{N}}$ (mais tu le prouve pour tout $x$, parce que tu as bien fait attention à ce que les machins dans les formules ne dépendent pas d'un $x$ en particulier).
  • LewisK
    LewisK
    C'est très clair, merci beaucoup !
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