L'ensemble des suites convergentes est fermé
Bonjour à tous, j'ai un exercice à faire que je ne comprends pas.
Il s'agit de montrer que l’ensemble des suites convergentes de limite xinf est fermé dans Linf(X), où Linf(X) est l'ensemble des suites bornées d'éléments de X. X est un espace métrique muni de la distance d et linf(X) est muni de la distance dinf = Sup(Un,Vn)
Je pense qu'il faut utiliser la caractérisation séquentielle des fermés. La prof nous a dit que pour pouvoir utiliser cette caractérisation, il faut montrer que toute suite de suites convergentes vers xinf converge vers xinf.
Voici comment j'ai commencé:
Soit (x)n une suite telle que:
x(n) = (Un(p))n où lim(Un(p) = xinf quand p tend vers infini.
Montrons que lim(x) = xinf
Soit e>0. Un(p), converge uniformément vers xinf, donc il existe N>= 1 tel que:
quel que soit p>= N, dinf (Un(p), xinf ) < e.
Si le début de mon exercice est bon, comment vérifier que lim quand n tend vers + inf de Un(p) = xinf ?
Merci beaucoup!
Il s'agit de montrer que l’ensemble des suites convergentes de limite xinf est fermé dans Linf(X), où Linf(X) est l'ensemble des suites bornées d'éléments de X. X est un espace métrique muni de la distance d et linf(X) est muni de la distance dinf = Sup(Un,Vn)
Je pense qu'il faut utiliser la caractérisation séquentielle des fermés. La prof nous a dit que pour pouvoir utiliser cette caractérisation, il faut montrer que toute suite de suites convergentes vers xinf converge vers xinf.
Voici comment j'ai commencé:
Soit (x)n une suite telle que:
x(n) = (Un(p))n où lim(Un(p) = xinf quand p tend vers infini.
Montrons que lim(x) = xinf
Soit e>0. Un(p), converge uniformément vers xinf, donc il existe N>= 1 tel que:
quel que soit p>= N, dinf (Un(p), xinf ) < e.
Si le début de mon exercice est bon, comment vérifier que lim quand n tend vers + inf de Un(p) = xinf ?
Merci beaucoup!
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Réponses
Reprends du début, que faut-il montrer pour appliquer la caractérisation séquentielle des fermés ? Écris bien chaque étape pour être sûr de ne rien louper ou confondre.
[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
Caractérisation séquentielle des parties fermées: Soit (X, d) un espace métrique et A incluse dans X une partie de X. Alors A est fermée si et seulement si la limite de toute suite convergente (dans X) d’éléments de A est dans A.
Dans notre cas: la caractérisation séquentielle des fermés dit que l'ensemble des suites de limite xinf est fermé ssi la limite de toute suite dans cet ensemble ( = l'ensemble des suites de limite xinf) est dans cet ensemble ?
[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
Merci beaucoup pour votre réponse ! Oui il s'agit de la dernière question d'un exercice. On a bien-sûr montré avant que l'ensemble des suites convergente sont bornées
1) prouver que $C$ le sev des suites convergentes dans $\ell^{\infty}$ l'espace des suites bornées est somme directe des constantes et de $\ell^0$ le sev des suites de limite nulle.
2) prouver que $\ell^0$ est l'adhérence dans $\ell^{\infty}$ du sev des suites à support fini (ie celles qui sont nulles à partir d'un certain rang).
3) prouver que la somme (directe) de deux sev fermés est fermée.
@gilles benson: Je ne suis pas certain que $X$ soit un espace vectoriel, je crois que c'est juste un espace métrique.
@Diasmine: Cette fois c'est la bonne propriété. Une manière de t'en servir:
Soit $x\in X$ on va nommer $L_x$ l'ensemble des suite de $X$ qui converge vers $x$ (si je comprends tes notations "inférieurement", mais tu n'indiques nulle part que $X$ possède une structure d'ordre totale compatible avec la distance, c'est pas grave, ça fonctionne aussi, il faut juste que tu fasses un peu plus attention aux détails. Attention: j'ai dit inférieurement, pas "strictement inférieurement", cette notion sous-entendrait d'une part que $X$ est dense dans lui-même au sens de la relation de comparaison, et là, pour le coup, l'ensemble considéré ne serait pas fermé).
Comme ça a été souligné, tu es au courant que ces suites sont bornées, tu peux utiliser donc utiliser la notion de distance entre suite.
Tu dois utiliser la définition de la distance entre suite $d(v,w)=\sup\{d(v_n,w_n), n\in\mathbb{N}$ pour prouver que si une suite $U$ d'éléments de $L_x$ (donc une suite de suite) converge vers une suite $l \in X^\mathbb{N}$ (il y a bien une notion de convergence uniforme vue la définition de cette distance et c'est très important, mais je pense que tu as intérêt à détailler), alors $l$ converge vers $x$, c'est-à-dire que $\forall \varepsilon \in \mathbb{R}^*_+, \exists n \mathbb{N}, \forall k> n, d(l_k,x)\leq \varepsilon$.
@Diasmine il va falloir écrire la définition à base d'$\varepsilon$ des différentes limites qui interviennent dans ton problème et utiliser convenablement les quantificateurs.
Merci beaucoup pour votre réponse.
x inf désignait en fait x infini (désolée pour ma notation qui prêtait à confusion).
Je suppose que le raisonnement est le même. Je vais essayer de le faire merci beaucoup!
1) on a une suite de suites $(x_{n,p})$ qui sont convergentes dans l'espace métrique $X$ chacune vers une limite $\ell_p$, i.e; $ x_{n,p} \to \ell_p$ si $ n \to \infty$.
2) on suppose que cette suite de suites $(x_{n,p})$ converge pour la norme uniforme vers une suite $(x_n)$ , i.e; $ \displaystyle \sup_{n} d(x_{n,p}, \; x_n) \to 0 $ si $ p \to \infty$.
On souhaite que:
3) la suite $(x_n)$ soit convergente.
Le souci est le suivant: pour prouver 3), il n'y a pas d'autre moyen que d'exhiber sa limite et je ne vois vraiment pas d'où elle va sortir. Il me semble que pour éviter celà, il faudrait une hypothèse de compacité ou de complétude.
Ce problème disparaît si $X$ est un evn...
@Diasmin: Tant mieux, mais il va falloir que tu précises ce que tu entends par "infini", parce que ça risque de ne plus du tout être la même tambouille.
@gilles benson: Pour le problème tel qu'on l'avait compris avant cette histoire d'infini, pas besoin d'hypothèses supplémentaires, mais comme tu le disais il faut faire attention à l'ordre des quantificateurs.
On a: $\forall p, (x_{n,p})_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers une limite (on va la renommer $y$ vu que tu as utiliser $x$ pour nommer la suite), et la suite de suite $( (x_{n,p})_{n\in\mathbb{N}})_{p\in\mathbb{N}}$ converge vers une suite $l$ au sens de la distance entre suites bornées cela signifie que:
$\forall \epsilon\in \mathbb{R}_*^+\exists k_{p,\epsilon}, \forall (n,p)\in \mathbb{N}, p\geq k_{p,\epsilon}\rightarrow d(x_{n,p},l_n) \leq \epsilon$
Je choisis un $\epsilon$ et je prends le $k_{p,\epsilon /2}$ de la formule précédente (renommons-le $k_0$ parce que c'est long à écrire), la suite $(x_{n,k_0})_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $y$ (on l'a renommé précédemment), donc $\exists k_1,\forall n\in\mathbb{N}, n\geq k_1\rightarrow d(y,x_{n,k_0})\leq \frac{\epsilon}{2}$.
Avec la définition de la distance dans $X$ (qui a notamment un truc d'inégalité triangulaire), on aura du coup, $\forall (n,p)\in \mathbb{N}^2, [n\geq k_1 \wedge p\geq k_0] \rightarrow d(x_{n,p},y)\leq \epsilon$, ce qui implique que $\forall n\geq k_1,d(l_n,x)\leq \epsilon$ (en espérant que je n'ai pas fait de confusion dans les indices, mais l'idée est là).
1) ton $y$ dépend de $p$.
2) ton $x$ sort de nulle part...
Je ne sais pas trop ce qu'on entend par suite de limite nulle, moi, je m'occupe des suite qui converge vers un élément de $X$.
Du reste gros quiproquo (c'est le risque quand on change les notations en cours de route):
Je voulais reprendre tes notations, du coup, vu que tu avais nommé $(x_{n,p})$ la suite de suite (je crois que c'est pour chaque $p$ la suite $(x_{n,p})_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $y$ et la suite de suite $((x_{n,p})_{n\in\mathbb{N}})_{p\in\mathbb{N}}$ converge uniformément vers $(l_n)_{n\in \mathbb{N}}$). Du coup, j'avais renommé la limite des suite $y$, parce qu'on avait nommé la "double suite" $x$, là le but c'était juste de prouver que $l$ a pour limite $y$ (cela dit, j'ai peut-être inversé les indices à un moment, mais je ne vois pas où, ça a l'air de se tenir).
Je n'ai pas la moindre idée de la provenance de l'exercice, je m'inquiète un peu pour cette histoire "d'infini" dont a parlé Diasmine dans son dernier message, parce que ce ne sera plus le même exercice.
perso je déteste les indices double/triple etc, donc je livre mon analyse à votre vérification
Pour tout $u\in L^{\infty}\left(X\right)$ et tout entier $p\geq0$, on note $u^{\left(p\right)}\in L^{\infty}\left(X\right)$ définie par $\left(u^{\left(p\right)}\right)_{n}=u_{p+n}$.
On se fixe $x\in X$, on note $\tilde{x}\in L^{\infty}\left(X\right)$ la suite constante égale à $x$, et $C$ l'ensemble des éléments de $ L^{\infty}\left(X\right)$ qui convergent vers $x$.
Pour tout réel $\varepsilon>0$, on note $F_{\varepsilon}=\left\{ u\in L^{\infty}\left(X\right)\:,\:\exists p\in\mathbb{N\:},\:d_{\infty}\left(u^{\left(p\right)},\tilde{x}\right)\leq\varepsilon\right\} $.
Alors on a : $C=\underset{\varepsilon>0}{\bigcap}F_{\varepsilon}$.
Pour conclure, on aimerait que les $F_{\varepsilon}$ soient fermés, mais malheureusement ce n'est pas le cas en général...
Par contre, on a la propriété simple à établir : $0<\varepsilon<\varepsilon'$ $\Longrightarrow$$\overline{F_{\varepsilon}}\subset F_{\varepsilon'}$,
qui permet de dire que : $\underset{\varepsilon>0}{\bigcap}F_{\varepsilon}=\underset{\varepsilon>0}{\bigcap}\overline{F_{\varepsilon}}$,
et là on est bon !
.
Je vais mettre une photo de l'énoncé afin de lever toute ambiguïté sur xinfini.
Il s'agit de la question 5)a)
edit: je n'avais pas vu le message de Zig, c'est sûr que c'est beaucoup plus élégant comme ça.
Donc:
1) $ \forall \varepsilon > 0, \; \exists p_{\varepsilon}, \; p \geq p_{\varepsilon} \Rightarrow \displaystyle \sup_n d(x_{n,p},\; \ell) \leq \varepsilon $.
2) $ \forall p \in \mathbb{N}, \; \forall \eta > 0, \; \exists n_{\eta,p}, \; n \geq n_{\eta,p} \Rightarrow d(x_{n,p} ,\; x_n) \leq \eta $
3) on veut: $ \forall \varepsilon' > 0, \; \exists n_{\varepsilon'}, \; n \geq n_{\varepsilon'} \Rightarrow \displaystyle d(x_{n},\; \ell) \leq \varepsilon' $.
On utilise l'inégalité triangulaire: $ d(x_{n},\; \ell) \leq \; d(x_{n,p} ,\; x_n) \; + \; d(x_{n,p},\; \ell) $
On discute suivant $p$:
i) si $ p \geq p_{\varepsilon}, \; \displaystyle \sup_n d(x_{n,p},\; \ell) \leq \varepsilon $.
ii) si $ p < p_{\varepsilon}\; $, on pose $N \; = \; \displaystyle \sup_{p < p_{\varepsilon}} n_{\eta,p} $ et $n \geq N \Rightarrow d(x_{n,p} ,\; x_n) \leq \eta $.
on prend finalement $ \eta \; = \; \varepsilon \; = \; \varepsilon / 2 $
$0<\varepsilon<\varepsilon' \Longrightarrow \overline{F_{\varepsilon}}\subset F_{\varepsilon'}$
On utilise l'inégalité triangulaire, et la mini astuce : $\forall p\in\mathbb{N},\ d_{\infty}\big(u^{(p)},v^{(p)}\big)\leq d_{\infty}(u,v)$.
Soit donc $u\notin F_{\varepsilon'}$; ainsi $\forall p\in\mathbb{N},\ d_{\infty}\big(u^{(p)},\tilde{x}\big)>\varepsilon'$ ;
on se fixe alors un réel $r$ tel que $0<r<\varepsilon'-\varepsilon$ , et on considère $v\in L^{\infty}(X)$ telle que $d_{\infty}(u,v)<r$.
On a alors : $\forall p\in\mathbb{N},\ d_{\infty}\big(v^{(p)},\tilde{x}\big)\geq d_{\infty}\big(u^{(p)},\tilde{x}\big)-d_{\infty}\big(u^{(p)},v^{(p)}\big)\geq d_{\infty}\big(u^{(p)},\tilde{x}\big)-d_{\infty}(u,v)>\varepsilon'-r>\varepsilon$.
Ainsi, la boule ouverte de centre $u$ et de rayon $r$ ne coupe pas $F_{\varepsilon}$, i.e. $u\notin\overline{F_{\varepsilon}}$.
@ Zig: Merci beaucoup pour cette démonstration que je vais étudier cet après-midi !
@ Gilles Benson et Titi le curieux: Cette démonstration ressemble beaucoup à l'une que l'on a fait en cours! Il y a juste le point 2 où je ne suis pas sûre d'avoir bien compris: $ \forall p \in \mathbb{N}, \ \forall \eta > 0, \ \exists n_{\eta,p}, \ n \geq n_{\eta,p} \Rightarrow d(x_{n,p} ,\; x_n) \leq \eta $
Comment peut-on être sûr qu'on peut toujours trouver une distance encore plus petite entre xn,p et xn? Je suppose que c'est parce que xn,p est une suite extraite de xn et donc qu'il y a toujours des valeurs où ses suites sont très très proches ?
Cool! Si tu as les bases en topologie générale, (mais aussi topologie des espace métrique, et il faudra raisonner là-dessus pour montrer $\epsilon< \epsilon'\rightarrow \overline{F_\epsilon}\subset F_{\epsilon'}$) l'étude de la démonstration de Zig te sera sûrement profitable, mais il faut aussi que tu sois assez à l'aise avec des raisonnements ensemblistes (exemple: pour montrer que $\displaystyle \bigcap_{\epsilon \in \mathbb{R}_*^+} F_\epsilon =\bigcap_{\epsilon \in \mathbb{R}_*^+} \overline{F_\epsilon}$).
En ce qui concerne ta dernière question, c'est par application directe des définitions de la distance entre deux suites bornées $d(u,v)=\sup\{d(u_n,v_n), n\in \mathbb{N}\}$, et de la convergence, qui ici s'écrira: $\forall \epsilon\in \mathbb{R}_*^+,\ \exists p_\epsilon\in \mathbb{N},\ \forall k\in \mathbb{N}, \ k\geq p_\epsilon \rightarrow d\big( (x_{k,n})_{n\in \mathbb{N}}, (l_n)_{n\in \mathbb{N}} \big)\leq \epsilon$.
La distance utilisée dans la seconde formule est celle définie dans la première et c'est vrai pour tout $\epsilon>0$, le >> auquel tu fais appel est beaucoup trop flou et n'apparaît dans aucune définition (en plus, comparer des "ordres de grandeurs" avec 0, ce n'est pas facile !)
1) chaque suite $(x_{n,p) } )$ est convergente de même limite $\ell$ :
$$
\forall p \in \mathbb{N}, \ \forall \eta > 0, \ \exists n_{\eta,p}, \ n \geq n_{\eta,p} \Rightarrow d(x_{n,p} ,\; \ell) \leq \eta .
$$ 2) la suite de suites $(x_{n,p) } )$ est convergente de limite la suite $(x_n)$ pour la norme du sup dans l'ensemble des suites bornées d'éléments de $X$ :
$$
\forall \varepsilon > 0, \ \exists p_{\varepsilon}, \ p \geq p_{\varepsilon} \Rightarrow \displaystyle \sup_n d(x_{n,p},\; x_n) \leq \varepsilon .
$$ 3) on veut : $ \forall \varepsilon' > 0, \ \exists n_{\varepsilon'}, \ n \geq n_{\varepsilon'} \Rightarrow \displaystyle d(x_{n},\; \ell) \leq \varepsilon' $.
On utilise l'inégalité triangulaire: $ d(x_{n},\; \ell) \leq \; d(x_{n,p} ,\; x_n) \; + \; d(x_{n,p},\; \ell) .$
On prend finalement $ \eta \; = \; \varepsilon \; = \; \varepsilon / 2 $; on choisit $ p \; = \; p_{\varepsilon}$, ce qui assure les deux inégalités :
i) du fait de la majoration du sup dans 2) : $
d(x_{n,p_{\varepsilon}} ,\; x_n) \; \leq \; \varepsilon / 2 .
$
ii) $\exists \displaystyle N = n_{ \varepsilon, p_{ \varepsilon}}, \ n \geq N \; \Rightarrow
d(x_{n,p_{\varepsilon}}, \ell) \leq \varepsilon / 2 .$
Finalement :
$$ \forall \varepsilon ,\ \exists N , \ n \geq N \; \Rightarrow \; d(x_n, \ell) \leq \varepsilon.
$$ Et, ...toutes mes excuses à Titi...
@Gilles Benson: super, ma prochaine question était de savoir pourquoi on fait une disjonction des cas pour p, donc ça règle le problème! Merci beaucoup!
J'ai juste une dernière questions concernant les deux suites que l'on a définies:
on est d'accord que (xn) c'est la suite de suites (xn,p)?
@Diamine: encore un truc qui a changé en cours de route et qui porte à quiproquo: dans le dernier message, j'entendais par là "la suite limite" $(l_n)_{\in\mathbb{N}}$, je vais changer la notation sur ce dernier message.
Tu vois que $\ell$ ne contient pas d'indice car toutes les suites $(x_{n,p})$ ont la même limite indépendamment de $p$, cette limite se faisant quand $n$ tend vers l'infini. Ceci explique l'écriture: $ \forall p, \; \displaystyle \lim_{n \to \infty} \; x_{n,p} \; = \; \ell$. Dans la mesure où je n'avais pas pris la peine de décrypter ton premier message et que je m'étais fié au titre du fil, j'avais jusqu'au moment où tu as posté l'énoncé de ton problème pensé que les limites des suites $(x_{n,p})$ étaient dépendantes de $p$.
@ Gille Benson: C'est moi qui aurais dû être plus précise lorsque j'ai écrit la consigne. La façon dont j'ai amené le sujet prêtait beaucoup à confusion.
@ Titi le curieux: Merci beaucoup pour ces explications!