Ensemble non dénombrable de suites

LewisK
LewisK
dans Topologie
Bonjour
Je cherche à prouver que le sous-ensemble $E$ de $\ell^{\infty}$ des suites constituées uniquement de $0$ et de $1$ n'est pas dénombrable.

Je ne sais pas comment procéder mais je me demande s'il n'y a pas moyen d'utiliser le fait que $\mathbb{R}$ n'est pas dénombrable, en utilisant quelque chose de proche de la démonstration de Cantor sur la non-dénombrabilité de $\mathbb{R}$. On pourrait en particulier justifier que tout entier peut s'écrire (en binaire) comme une suite de $0$ et de $1$, et donc qu'à tout élément de $\mathbb{R}$ on peut faire correspondre une unique suite (infinie) de $0$ et de $1$. En d'autres termes $\mathbb{R}$ et $E$ sont isomorphes, donc $E$ n'est pas dénombrable.

Est-ce que j'enfonce des portes ouvertes ? Est-ce qu'il existe une démonstration s'appuyant sur des arguments plus "théoriques" ?

Réponses

  • Chalk
    Chalk
    L'idée est effectivement de voir qu'un nombre réel, moralement ça peut se voir comme son écriture binaire, et donc qu'il y a bijection entre $\ell^\infty$ et $[0,1[$ et donc aussi entre $\ell^\infty$ et $\R$. Mais en pratique ce n'est pas complètement trivial à rédiger même si l'idée est simple, à cause des développements impropres.
  • LewisK
    LewisK
    Entendu, merci pour cette réponse rapide !
  • Corto
    Corto
    Ton ensemble est en bijection avec l'ensemble des parties de $\N$ via l'application $\phi : \ell^\infty \to \mathcal P(\N)$ définie comme
    \[
    \phi((u_n)_{n\in \N}) = \{n\in \N : u_n=1\}

    \] et un théorème bien connu de Cantor montre que $\mathcal P(A)$ est toujours strictement plus gros (au sens du cardinal) que $A$. En combinant ces deux choses on voit que $\ell^\infty$ est non dénombrable.

    Maintenant si on veut en plus montrer que $\ell^\infty$ a le même cardinal que $\R$ l'argument avec les développement binaire fonctionne bien.

    AD : tu viens d'éditer tous les messages en remplaçant les $l^\infty$ par des $\ell^\infty$. Pour moi $\ell^\infty$ c'est l'espace des suites bornées, pas la même chose que le $l^\infty$ du message initial de l'auteur donc.
  • LewisK
    LewisK
    Merci Corto, c'est très clair !
  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Corto, qu'est-ce que c'est $l^\infty$ pour toi ?
  • Corto
    Corto
    Rien de particulier justement, à l'inverse $\ell^\infty$ représente quelque chose de bien défini dans ma tête.
  • Calli
    Calli
    D'accord. J'avais cru en te lisant que $l^\infty$ avait une signification que j'ignorais.
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