Action proprement discontinue
Bonsoir tout le monde.
J'utilise la définition suivante : une action continue d'un groupe discret $G$ sur un espace localement compact $X$ est proprement discontinue si pour tout compact $K\subset X$, l'ensemble $\{g\in G\mid g(K)\cap K\neq \varnothing\}$ est fini. Je prends maintenant $G=\omega_1\Z + \omega_2\Z$ le sous-groupe de $(\C,+)$ engendré par $\omega_1$ et $\omega_2$ (ils sont supposés tous les deux non nuls).
Je voudrais montrer le résultat suivant : l'action de $G$ sur $\C$ est proprement discontinue si et seulement si $\frac{\omega_1}{\omega_2}\notin \R$.
Je vous avoue que je ne sais pas trop comment partir, je n'arrive pas à rédiger une preuve propre (sans jeu de mot). Quelqu'un saurait-il m'aider ? Merci.
J'utilise la définition suivante : une action continue d'un groupe discret $G$ sur un espace localement compact $X$ est proprement discontinue si pour tout compact $K\subset X$, l'ensemble $\{g\in G\mid g(K)\cap K\neq \varnothing\}$ est fini. Je prends maintenant $G=\omega_1\Z + \omega_2\Z$ le sous-groupe de $(\C,+)$ engendré par $\omega_1$ et $\omega_2$ (ils sont supposés tous les deux non nuls).
Je voudrais montrer le résultat suivant : l'action de $G$ sur $\C$ est proprement discontinue si et seulement si $\frac{\omega_1}{\omega_2}\notin \R$.
Je vous avoue que je ne sais pas trop comment partir, je n'arrive pas à rédiger une preuve propre (sans jeu de mot). Quelqu'un saurait-il m'aider ? Merci.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Bon de fait, c'est évidemment faux: prendre $\omega_1 = 1, \omega_2 = 2$, alors le groupe obtenu est $\Z$, et l'action de $\Z$ est bel et bien proprement discontinue. Mais regardons tout de même.
Si $\alpha \in\R$, tu connais certainement la forme des sous-groupes de $\R$, n'est-ce pas ? (sinon il faudra traiter ça d'abord) Tu peux alors certainement en déduire que l'action n'est pas proprement discontinue sous certaines hypothèses additionnelles sur $\alpha$.
Si $\alpha \notin \R$, tu peux essayer de montrer dans un premier temps que $\Z + \alpha \Z$ est discret en tant que sous-espace de $\C$. Il faudra ("bien entendu") pour cela utiliser la partie imaginaire de $\alpha$. Une fois qu'on a ça, ça devrait être relativement accessible .
L'application $f:z\in \C \mapsto \omega_1 z$ est un homéomorphisme de $\C$ donc envoie les compacts sur des compacts. Par ailleurs, $f$ induit une bijection de $\Gamma$ sur $G$ (et donc une bijection de toute partie $A\subset \Gamma$ dans $f(A)\subset G$). Supposons qu'il existe $K$ compact de $\C$ et $A\subset \Gamma$ infini tel que pour tout $\gamma \in A$, $\gamma(K)\cap K\neq \varnothing$. En vertu de ce que l'on a dit plus haut, $f(A)$ est une partie infinie de $G$. Définissons $K':=\omega_1 K$ qui est un compact de $\C$. Soit $g\in f(A)$. Il existe un unique $\gamma \in A$ tel que $g=f(\gamma)$. Par hypothèse, il existe $z\in K$ tel que $\gamma(z)\in K$. Soit $z':=\omega_1 z\in K'$. Alors $g(z')=\omega_1\gamma(z)\in K'$. Donc pour tout $g\in f(A)$, $g(K')\cap K'\neq \varnothing$. Donc $G$ n'agit pas proprement discontinuement sur $\C$. On montre le sens inverse en passant de $G$ à $\Gamma$ à l'aide de $f^{-1}$, cela permet de se ramener au cas où le réseau est de la forme $\Z+\alpha \Z$, $\alpha\in C^*$.
Ensuite oui tu as bien raison, il existe des $\alpha\in \R$ tels que $\Gamma:=\Z+\alpha \Z$ agisse sur $\C$ proprement discontinuement... cf ton exemple. En revanche, si $\alpha$ est irrationnel, $\Gamma$ est dense dans $\R$ et on voit que $\Gamma$ n'agit pas proprement discontinuement sur $\C$. En effet, pour tout $n\geq 1$, il existe $\gamma_n\in \Gamma$ tel que $\gamma_n\in ]-\frac{1}{n};\frac{1}{n}[$. Donc le segment $[-1;1]$ qui est compact dans $\C$ vérifie $\gamma([-1;1])\cap [-1;1]\neq \varnothing$ pour une infinité de $\gamma \in \Gamma$.
Ensuite, si $\alpha\notin \R$ alors $(1,\alpha)$ est une $\R$-base de $\C$ donc l'application $a+\alpha b\in \C \mapsto a+ib$ est un homéomorphisme $\R$-linéaire de $\C$ qui réalise un homéomorphisme entre $\Gamma$ et $\Z+i\Z$. Pour montrer que $\Gamma$ est discret, il suffit donc de montrer que $\Z+i\Z$ est discret. Or si $z\in \Z+i\Z$, la boule ouverte $B(z,\frac{1}{2})$ rencontre $\Z+i\Z$ en $z$ uniquement. Donc $\Z+i\Z$ est discret.
Reste enfin à montrer que si $\alpha \notin \R$ alors $\Gamma$ agit sur $\C$ proprement discontinuement... la suite demain :-D
On pose $N_1:=\lfloor L-l \rfloor +1$. Alors pour tout $z\in K$, $\Im(z)+N_1>l+L-l=L$. On peut aussi définir $N_2:=\lfloor l-L\rfloor -1$. Alors pour tout $z\in K$, $\Im(z)+N_2< L + l -L = l$. Cela montre que pour tout $z\in K$, si $n\notin [\![N_2,N_1]\!]$ alors $z+in\notin K$.
On peut faire exactement le même raisonnement avec la partie réelle. Finalement, cela montre que si $\gamma = a+ib\in \Z+i\Z$ vérifie $\gamma(K)\cap K\neq \varnothing$ alors $a$ et $b$ ne peuvent prendre qu'un nombre fini de valeurs. Donc l'action est proprement discontinue.
$$
\forall n \in \mathbb{N}, \ g_n(K) \cap K \neq \varnothing \; \Longleftrightarrow \forall n \in \mathbb{N}, \ \exists (x_n,\; y_n) \in K^2, \ y_n = g_n(x_n).
$$ On regarde alors $d_n \; = \; |y_n - x_n|^2$ qui est une suite d'entiers qui n'est pas bornée (contradiction avec $K$ compact). Si cette suite était bornée, la suite $(y_n - x_n)$ serait bornée et admettrait un point d'accumulation ce qui est impossible ou finie.