Compacité et accumulation

Bonjour

Je me place dans $\R$(mais la question pourrait se poser dans le cadre général) et je souhaiterais placer dans un intervalle ouvert une infinité de points $x_i$ sans qu’ils s’accumulent quelque part. Je peux reformuler: je souhaite trouver une suite de réels $x_i$ et un réel $\delta$ dans cet intervalle tels que la différence entre deux termes soit au moins égale à $\delta$.
L’intervalle étant non compact, je peux trouver un recouvrement infini $\bigcup_i U_i$ duquel on ne peut extraire aucun recouvrement fini, si bien qu’on n’ait plus la garantie d’accumuler une infinité de termes quelque part(comme on le ferait avec le principe des tiroirs avec un recouvrement fini). Il suffit donc de choisir un nombre fini d’éléments dans chaque $U_{i+1}\backslash U_i$. Mais cela fait appel à l’axiome du choix non? Merci beaucoup.