Esp. vectoriel topologique localement convexe

jsvdb
jsvdb
dans Topologie
Bonjour à tous :)

Je considère un espace vectoriel réel $E$.
On peut toujours construire dans $E$ des convexes symétriques absorbants : il suffit de prendre sur chaque droite vectorielle un segment $[x,y]$ en sorte que $0$ y soit intérieur (la droite vectorielle étant vue comme une copie de $\mathbb R$), de réunir tous ces segments et d'en prendre l'enveloppe convexe $C'$.
On peut considérer $C = C'\cap (-C')$. $C$ est un convexe symétrique absorbant.

Du coup, je considère sa jauge $J$ définie sur E par $J(x) = \inf \{\rho >0\mid x \in \rho C\}.$
Comme $C$ est absorbant, $J$ est une application à valeur dans $\mathbb R_+$.
Comme $C$ est symétrique, $J$ est une semi-norme sur $E$.
Donc $J$ définit sur $E$ une structure d'EVTLC.

Mais voilà, il existe des EVT qui ne peuvent être localement convexes (je pense aux $\mathcal L^p$ avec $0 <p<1$)
Et du coup, je ne vois pas où mon raisonnement pèche !
Merci à tous ceux qui voudront bien m'éclairer :-).

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Je ne sais pas ce que "absorbant" veut dire, mais déjà structurellement : tu pars d'un espace vectoriel tout court, et construit une semi-norme donc une topologie pour laquelle $E$ est localement convexe. Mais si $E$ avait initialement une topologie (typiquement $L^p$), rien ne te dit que la nouvelle sera la même, en particulier la convexité locale de la nouvelle ne te dit rien sur celle de celle de laquelle tu pars.

    En particulier, tu dis "il existe des EVT qui ne peuvent être localement convexes", ça devrait être un "qui ne sont pas", puisque c'est une propriété de la topologie. Mais ce n'est pas une propriété de l'espace vectoriel sous-jacent !
  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Si tu fais ta construction sur $L^p$, $0<p<1$, tu obtiendras une topologie sur $L^p$ qui n'a absolument rien à voir avec la topologie canonique de $L^p$, puisque dans ta construction tu pars d'un ev brut (sans topologie précisée). Autrement dit, tu as obtenu deux topologies distinctes sur $L^p$ : l'une qui est localement convexe et l'autre qui ne l'est pas. Il n'y a aucune contradiction.

    Edit: Je n'avais pas vu la réponse de Maxtimax. Pour "absorbant", voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_absorbant.
  • jsvdb
    jsvdb
    Merci à tous les deux !
    Evidemment, si je cherche des contradictions qui n'existent pas B-)-
  • jsvdb
    jsvdb
    Dans ces $\mathcal L^p$, la topologie canonique est celle de sa quasi-norme, c'est bien ça ?

    Si j'ai bien saisi, dans $\mathcal L^p, p\in ]0,1[$, muni de sa topologie canonique, il n'existe donc aucune possibilité de fabriquer une base de voisinage de 0 avec des ensemble convexes. Ou encore, tout voisinage de 0 ne contient aucun ensemble convexe ouvert. C'est bien ça ?!
  • Calli
    Calli
    jsvdb a écrit:
    Dans ces $\mathcal L^p$, la topologie canonique est celle de sa quasi-norme, c'est bien ça ?

    Non. Elle est engendrée par une distance $d(f,g):=\displaystyle\int |f-g|^p$ qui n'est pas une semi-norme. Si c'était une semi-norme, $L^p$ serait localement convexe. Mais $L^p$ muni de la topologie induite par cette distance n'est pas localement convexe (mais je ne sais pas par cœur comment on le prouve).
    jsvdb a écrit:
    Si j'ai bien saisi, dans $\mathcal L^p, p\in]0,1[$, muni de sa topologie canonique, il n'existe donc aucune possibilité de fabriquer une base de voisinage de 0 avec des ensembles convexes.

    Oui.
    jsvdb a écrit:
    Ou encore, tout voisinage de 0 ne contient aucun ensemble convexe ouvert. C'est bien ça ?!

    Là, par contre, non. $E$ est un voisinage de 0 qui contient ensemble convexe ouvert : $E$ lui-même. Il y a un problème de quantification. C'est plutôt "il existe un voisinage de 0 qui ne contient aucun voisinage convexe de 0".

    PS: Toujours avec $0<p<1$.
  • jsvdb
    jsvdb
    Tes explications sont claires.
    Vu pour la quantification, effectivement, c'est "il existe un voisinage qui bla bla" ... c'est compris ! Merci.
  • jsvdb
    jsvdb
    Maxtimax a écrit:
    Je ne sais pas ce que "absorbant" veut dire

    Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps valué non discret et $A,B$ deux parties de $E$.
    On dit que $A$ absorbe $B$, s'il existe $a>0$ tel que pour tout $\lambda \in K$ vérifiant $|\lambda|\geq a$, on a $B \subset \lambda A$.
    On dit que $A$ est absorbante si elle absorbe toute partie réduite à un point.
  • christophe c
    christophe c
    Il t'a été répondu. Mais je profite de ton fil pour témoigner que j'oublie toujours (ce qui prouve que je n'ai jamais vraiment bien résolu) si l'ensemble des convexes absorbant contenant $0$ et leurs translatés engendre comme topologie une topologie qui fait de l'espace vectoriel (tout court) dont on est parti un espace vectoriel topologique. Il est "de mon devoir" de clore cette affaire un jour ou l'autre. Merci d'avoir toléré ma présence :-D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • gilles benson
    gilles benson
    Hum, les convexes absorbants, si je me souviens bien, définissent des semi-normes en passant par la notion de jauge...Sinon, c'est Bourbaki: Espaces vectoriels topologiques, fascicules 1 à 3...
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Calli
    Calli
    D'ailleurs (je n'y avais pas pensé au début), dans la construction du premier message, rien ne garantit que $C\neq E$. Si ça trouve, la topologie définie par cette construction est juste la topologie grossière...
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