Topologie et tribu
dans Topologie
Bonjour à tous
Je souhaiterais savoir, pourquoi les deux objets, topologie et tribu, sont respectivement des modèles pour la théorie des espaces topologiques (en particulier, en théorie des espaces métriques, ou des variétés, ou des schémas, ... , etc), et la théorie de la mesure (en particulier, en théorie des probabilités, en théorie ergodique, en théorie des systèmes dynamiques si je ne m'abuse, ... etc) ?
Autrement dit, pourquoi, il n'est pas vrai que la notion de topologie ne soit pas un modèle pour la théorie de la mesure, et la notion de tribu ne soit pas un modèle pour la théorie des espaces topologiques ?
Pour être plus précis, je cherche à démontrer l'existence et l'unicité de ces deux modèles pour ces deux théories respectivement à l'aide du principe de propriété universelle utilisé en théorie des catégories susceptible de démontrer ça.
Merci d'avance pour votre aide.
Je souhaiterais savoir, pourquoi les deux objets, topologie et tribu, sont respectivement des modèles pour la théorie des espaces topologiques (en particulier, en théorie des espaces métriques, ou des variétés, ou des schémas, ... , etc), et la théorie de la mesure (en particulier, en théorie des probabilités, en théorie ergodique, en théorie des systèmes dynamiques si je ne m'abuse, ... etc) ?
Autrement dit, pourquoi, il n'est pas vrai que la notion de topologie ne soit pas un modèle pour la théorie de la mesure, et la notion de tribu ne soit pas un modèle pour la théorie des espaces topologiques ?
Pour être plus précis, je cherche à démontrer l'existence et l'unicité de ces deux modèles pour ces deux théories respectivement à l'aide du principe de propriété universelle utilisé en théorie des catégories susceptible de démontrer ça.
Merci d'avance pour votre aide.
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Réponses
Les axiomes des théories sont choisis en fonction des buts de cette théorie. Ce qui fait qu'ils sont parfaitement adaptés, puisque ce sont eux qui définissent la théorie.
Quant à la façon dont ils sont apparus et comment on s'est mis d'accord, c'est de l'histoire des sciences. Tu peux facilement, maintenant qu'il y a Internet, trouver des éléments. A condition de chercher vraiment, sans venir dire sans arrêt ici "je ne trouve pas".
Pour les axiomatiques des probas, généralisées à la théorie de la mesure, Kolmogoroff est un bon client.
Et si c'est en maths, une démonstration de quoi ?
Tu sors de la réalité ???
Ta question est du même ressort que "pourquoi l'ensemble des entiers constitue le bon modèle pour les entiers ?".
Tu te prends pour un grand penseur parce que tu fais des phrases que tu ne comprends pas vraiment. Tu n'es qu'un baratineur lamentable.
Tu es un génie incompris, inutile de continuer à venir ici, continue de te prendre en pitié et de croire que tu es un génie ...
C'est exactement ça. D'ailleurs on est tous très jaloux de tes capacités incroyables à résoudre de grandes conjectures et à apprendre tellement de grandes théories aussi rapidement.
PS : je suis bac+9, c'est encore plus la honte pour moi :-(
Moi je n'ai validé que bac+3, hé hé... j'évite le traumatisme crânien. (:P)
(*) Au moins 15 ans qu'il fréquente ce forum sous différents noms.
Voici "les" questions:
Ok, bin commence par montrer l'existence par exemple pour la théorie de la mesure. Quels sont les objets, quelles sont les flèches?
En fait, il manque un tout petit truc à mettre en évidence.
Il faut montrer à la fois,
- l'existence et l'unicité du modèle.
- l'existence et l'unicité de l'ensemble des axiomes définissant la théorie.
Bref, on considère le foncteur $ F \ : \ \mathcal{T} - \mathrm{mod} \to \mathcal{T} $ défini par, $ F( M , \tau ) = \{ \ \text{Topology theory de modèle} \ (M, \tau) \ \} $, et on montre que, $ F $ a pour classifiant, $ (X, \tau) $, avec, $ X $ un espace topologique, et $ \tau $ la collection d'axiomes définissant : Topology theory.
$ \mathcal{T} - \mathrm{mod} $ est la catégorie des modèles de $ \mathcal{T} $, où $ \mathcal{T} $ est la catégorie des théories.
Bref, il faut trouver que,
- $ \tau $ qui est la collection des trois axiomes que vous connaissez, est exactement la vrai collection d'axiomes définissant : Topology theory ( Existence et unicité )
- Il faut construire concrètement $ X $ à isomorphisme près, comme on fait pour d'autres théories à structures ( produit tensoriel, groupe libre, groupe fondamental ... etc ). J'ai jamais vu construire un tel modèle, qui est ici un espace topologique. Lorsqu'on nous apprend la topologie pour la première fois, on zappe cette étape, et on passe directement à la définition et la mise en place des axiomes. Ce qui n'est pas rigoureux.
Pablo devrait mettre un nez rouge, sur son avatar par exemple.
Cordialement,
Rescassol
Merci.
Au passage, dès son premier message, Poirot a parfaitement répondu à ta question : "Autrement dit, pourquoi, il n'est pas vrai que la notion de topologie ne soit pas un modèle pour la théorie de la mesure, et la notion de tribu ne soit pas un modèle pour la théorie des espaces topologiques ?" Mais comme tu ne comprends pas les questions que tu poses :-D