Quasi-compact
Bonjour
Pouvez-vous m'aider sur cet exercice s'il vous plaît ?
Soient $(X, T )$ un espace topologique, $ Z := \{z \}$ un singleton, avec $z \notin X$, et $X':= X \bigcup Z$ et $T':= T \bigcup\, \{ X'\setminus K \mid K$ quasi-compact et fermé dans $(X, T ) \}, $ une topologie sur $X'$.
De plus, on sait que $(X',T')$ est quasi-compact.
1) Montrer que $(X', T')$ est séparé si et seulement si
• $(X, T )$ est séparé et
• chaque point de $X$ possède un voisinage compact.
2) Soit $(X, T ) = (]0, 1[,\ T_{eucl})$. Montrer que $(X', T')$ est homéomorphe au cercle unité $S^1 := \{(x, y) \in R^2\mid x^2 + y^2 = 1\} \subset \R^2$, muni de la topologie euclidienne induite.
1) $(X', T')$ est séparé si pour tout $x,y \in X' ,\ x\neq y $ il existe $I_x \in \mathcal I(x)$ et $I_y \in \mathcal I(y)$ tels que $I_x \bigcap I_y = \emptyset$
Autrement dit $X'$ est séparé si pour tout $x \in X',\ \{x \} = \bigcap_{I \in \mathcal I(x)} {\bar I}$.
Cela paraît "évident" que $(X,T)$ est séparé par la définition de $T'$ mais je n'arrive pas à le rédiger correctement.
Bien cordialement.
Pouvez-vous m'aider sur cet exercice s'il vous plaît ?
Soient $(X, T )$ un espace topologique, $ Z := \{z \}$ un singleton, avec $z \notin X$, et $X':= X \bigcup Z$ et $T':= T \bigcup\, \{ X'\setminus K \mid K$ quasi-compact et fermé dans $(X, T ) \}, $ une topologie sur $X'$.
De plus, on sait que $(X',T')$ est quasi-compact.
1) Montrer que $(X', T')$ est séparé si et seulement si
• $(X, T )$ est séparé et
• chaque point de $X$ possède un voisinage compact.
2) Soit $(X, T ) = (]0, 1[,\ T_{eucl})$. Montrer que $(X', T')$ est homéomorphe au cercle unité $S^1 := \{(x, y) \in R^2\mid x^2 + y^2 = 1\} \subset \R^2$, muni de la topologie euclidienne induite.
1) $(X', T')$ est séparé si pour tout $x,y \in X' ,\ x\neq y $ il existe $I_x \in \mathcal I(x)$ et $I_y \in \mathcal I(y)$ tels que $I_x \bigcap I_y = \emptyset$
Autrement dit $X'$ est séparé si pour tout $x \in X',\ \{x \} = \bigcap_{I \in \mathcal I(x)} {\bar I}$.
Cela paraît "évident" que $(X,T)$ est séparé par la définition de $T'$ mais je n'arrive pas à le rédiger correctement.
Bien cordialement.
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Réponses
Cet exercice est dans un préambule à l'introduction de la compactification d'Alexandrov?
Je suppose que tu as fait des fautes d'inattention ou de latex à la première ligne: voulais-tu dire $z\notin X$ (\notin) et $T'=T\cup \{X' \setminus K | K \cdots \}$ (\setminus ou \backslash ) ?
Je suppose que tu as au préalable prouvé que $T'$ est bien une topologie (stable par union, par intersection finie ...).
Pour prouver que $T$ est séparée et localement compact sachant que $T'$ est séparée, je te propose de répondre à ces questions:
Tu sais que $\forall x\in X$ $\exists (U,V)\in T'^2, x\in U\wedge z\in V \wedge U\cap V =\emptyset$. Quel est la nature selon $(X,T)$ de $V\setminus \{z\}$ ? Quelle est la nature dans $(X,T)$ de $U$? Dans quel genre de truc (par rapport à $(X,T)$) est contenu ce dernier?
À ce moment-là tu dois déjà avoir conclu en ce qui concerne le côté "localement quasi-compact" de $T$, mais pas tout-à-fait pour la séparation. Elle vient presque toute seule, sachant que $T'$ est séparée et que les éléments de $T'$ privés de $\{z\}$ sont des éléments de $T$.
Alors je ne sais pas du tout si c'est l'introduction de la compactification d'Alexandrov ce n'est nul part écrit.
Oui excusez-moi je ne maîtrise pas encore tout à fait LaTex mais c'est bien ce que vous avez écrit je vais modifier, je vous remercie
Alors effectivement, j'ai essayé de montrer que $T'$ est une topologie mais je suis bloqué finalement aux axiomes.
Je m'explique :
K est quasi-compact et fermé donc on peut "réduire" à K est fermé (d'après un corollaire).
Si je vérifie les axiomes de la topologie :
i) $\emptyset \in T$ (car $T$ topologie) et $T \in T'$ donc $\emptyset \in T'$
De plus $X' \in T'$ (je ne sais pas trop quelle justification apporter)
ii) Soit $(U_i)_{i \in I}$ une famille d'ouverts, montrons que $\bigcup_{i \in I} U_i \in T'$
(le problème c'est que je ne sais pas la nature de $X' \setminus K$ parce que $K$ est dans $(X,T)$ mais $X'$ je ne sais pas.
Si pour tout $i \in I,\ U_i = X' \setminus K$ alors $\bigcup_{i \in I} U_i = X' \setminus K \in T'$
sinon il existe $i$ tel que $U_i= T$, donc $\bigcup_{i \in I} U_i = T \in T$.
iii) Soit $U_1, U_2 \in T$ montrons que $U_1 \bigcap U_2 \in T'$.
Si $U_1=U_2= T$, alors $U_1 \bigcap U_2 = T \in T'$.
Sinon $U_1=U_2= X' \setminus K$, alors $U_1 \bigcap U_2 = X' \setminus K \in T'$.
Donc $T'$ est une topologie (n'hésitez pas si vous trouvez des choses incohérentes à me corriger).
J'avais une question aussi avant de répondre aux vôtres mais on a supposé que $(X',T')$ est quasi-compact. Mais j'aurais aimé savoir pourquoi c'est vrai. J'ai essayé de chercher avec la définition "$(X',T')$ est quasi-compact si de tout recouvrement ouvert de X', on peut extraire un sous-recouvrement fini". Pouvez-vous me dire comment on le démontre s'il vous plaît ?
Pour répondre à vos questions.
Je ne comprends pas très bien le début de votre ligne avec les signes "V" à l'envers parce que pour moi ce signe désigne le pgcd. Néanmoins, je pense vous donnez la définition de $T'$ séparée j'essaye de réécrire.
Pour tout $x,y \in X,\ x \neq y $ il existe $(U,V) \in T'^2,\ x \in U,\ y \in V$ tel que $U \bigcap V = \emptyset$.
La nature de $V \setminus \{ z \}$ selon $(X,T)$ est ouverte que $V \setminus \{ z \} \in \{T\} \bigcup \{ X \setminus K \}$,
car $V \in T'$ donc $ V \in T \cup V \in \{ X' \setminus K \}$
et on veut $ V \setminus \{ z \}$.
Ensuite $K$ est fermé dans $(X,T)$ et $X$ est ouvert et fermé dans $(X,T)$ mais je ne sais pas la nature de $\{ X \setminus K \}$.
Je ne sais pas quoi dire sur la nature de $U$ dans $(X,T)$ parce que $U \in T'$ et je ne sais pas la nature de $\{ X' \setminus K \}$.
Pour la séparation de $T$ on peut dire que :
pour tout $x, y \in X,\ x \neq y$ il existe $U \in T' \setminus \{ z \},\ V \in T' \setminus \{ z \}$ tel que $U \bigcap V = \emptyset$
Donc $T$ est séparé.
Bien cordialement.
Salut, pour les "V à l'envers" ($\wedge$), ça veut dire "et", du coup, tu as bien traduit (en ce qui concerne le rapport avec le pgcd, va voir la page wikipédia du pgcd, ils en donnent une explication).
J'avoue que quand je lis certains trucs, je prend peur: Soit tu as des problèmes lors de la copie (dans ce cas là, je te conseille une bonne nuit de sommeil), soit tu fais des confusions assez méchantes et dans ce cas là, il faut absolument que tu apprennes à écrire correctement les ensembles et relation entre ensembles.
Exemple: dans ton iii) tu dis que l'intersection de deux ouverts est égale à la topologie (c'est nope, mais je peux le pardonner parce que je crois que tu as tendance à utiliser \neq au lieu de \notin).
Et plus loin tu écris un truc du genre $U\in \{T\}\cup \cdots $ ($U$ un ouvert): le seul truc qu'il y a dans $\{ T \}$ c'est $T$.
Une fois que tu es un peu plus clair là-dessus: tu te refais la définition d'une topologie et aussi de l'ensemble des fermés (C'est quoi la nature du complémentaire d'un fermé? Si tu n'as pas d'idée là-dessus, on est mal barré). Et seulement après tu reviens dessus.
Je te donnes quand même des infos pour montrer que $T'$ est bien une topologie, mais n'y touche pas tant que tu es embrouillé.
Pour montrer que $T'$ est bien une topologie sur $X'$ tu dois faire largement appel aux notions de quasi-compact et de fermés, tu n'as pas l'air à l'aise avec celle de quasi-compact, du coup je te donnes une définition:
On dit de $Y$ qu'il est quasi-compact si pour tout recouvrement de $Y$ par des ouverts, il en existe un sous-recouvrement fini.
De là, il y a des propriétés chouettes à démontrer:
1) L'ensemble vide en est un.
2) L'intersection d'un quasi-compact et d'un fermé est quasi-compacte (si tu as un recouvrement d'ouvert de l'intersection, et que tu y ajoutes le complémentaire du fermé, qui est donc un ouvert disjoint de cette intersection, tu tombes sur un recouvrement d'ouvert du quasi-compact de base, donc il y a un sous-recouvrement fini...)
3) Toute union finie de quasi-compacts est quasi-compacte (tu le prouves pour l'union de deux et tu récurres).
4) Toute intersection de quasi-compact fermé est quasi-compacte et fermée (Là je me suis cassé la tête pendant 10 minutes pour tenter de savoir si une intersection de quasi-compact est en générale quasi-compacte, figure-toi que je ne sais pas et je commence à soupçonner que ce soit faux :)o... Fort heureusement, ici, ils sont fermés, fais bon usage de la propriété 2 et de ce que tu dois savoir sur les fermés et tout ira bien).
De là pour montrer que $T'$ est bien une topologie. On va nommer $A=T'\setminus T$ (Le machin dont les éléments sont les $\{z\}\cup \text{Un complémentaire d'un quasi-compact fermé} $ edit: j'avais moi aussi écrit une boulette sur mes définition d'ensemble ici :-D):
-Tu prouves que tout élément de $A$ est l'union d'un élément de $T$ et de $\{z\}$ (pour cela, tu as juste besoin de la définition d'un fermé).
- Tu prouves que $X'$ est élément de $A$ parce que (1)
- Tu prouves que $A$ est stable par union par utilisation de la propriété 4 (ou direct 2).
- Tu prouves que $A$ est stable par intersection finie par utilisation de la propriété 3.
On sait par ailleurs que $T$ est une topologie sur $X$ donc par hypothèse stable par intersection finie et par union (et comme tu le dis $\emptyset$ en est élément).
Tu dois encore prouver que l'union d'un élément de $A$ et d'un élément de $T$ est dans $A$ (par (2) ) et que l'intersection d'un élément de $A$ et d'un élément de $T$ est dans $T$ (si tu as montrer les propriétés des éléments de $A$, pas de problèmes).
Après plus qu'à utiliser tout ça en faisant des petits réarrangements pour montrer que toute union d'éléments de $A$ et de $T$ est dans $T'$ et pareil pour les intersection finies d'éléments de $A$ et $T$.
Bon courage et à plus,
Oui j'ai beaucoup de difficulté avec cette matière. Et la notion de quasi-compact est nouvelle pour moi donc j'ai du mal à maîtriser.
Après avoir posté ce message ce matin, il y a des choses que j'ai modifié notamment lorsque je disais : $U_i = T$ au lieu de $U_i \in T$
K est fermé si son complémentaire est ouvert dans X.
$T$ (de la définition de l'exercice initiale) est une collection de parties de $X$ et $T$ est une topologie.
Donc l'ensemble des ouverts de X est bien stable par intersection finie et par réunion quelconque.
(Maintenant je réponds à vos tirets)
- Les complémentaires des quasi-compacts fermés sont ouverts donc ils appartiennent à T.
Donc tout élément de A est l'union d'un élément de $T$ et de $\{ z \}$
(A noter que je ne "vois" pas comment vous êtes à définir A comme vous l'avez dit entre parenthèse parce que pour moi $A= \{ X' \setminus K \} = \{ X \bigcup \{z\} \setminus $ K compact et fermé $\}$
- $X' = X \bigcup \{z\}$ et $X \in T$ donc $X'$ est élément de A (je ne vois pas le rapport avec l'ensemble vide)
- $A$ est stable par union car une intersection quelconque de quasi-compacts est quasi-compacte , comme fermé d’un quasi-compact
- $A$ est stable par intersection finie car une réunion finie de quasi-compacts est quasi-compacte
J'ai un peu plus de mal pour la fin :
je dois montrer que l'union d'un élément de A et d'un élément de T est dans A mais je ne vois pas le rapport avec le (2) . Parce que $A= T \setminus T'$, et si je prends un $x \in A$ et un $y \in T$ $x \bigcup y $ pour moi (mon explication ne va pas être rigoureuse et je m'excuse mais) le plus grand "ensemble" c'est $T$ car à A on T à qui on lui enlève une partie. Il doit y avoir quelque chose qui m'échappe.
Pour la suite j'ai du mal aussi.
Je vous remercie pour votre aide et vos conseils bienveillants
De rien.
Pour ce qui est de $X'\in A$ et l'ensemble vide, l'idée c'est juste de dire qu'on a besoin de dire que le complémentaire de $X$ dans $X$ (donc l'ensemble vide) est un fermé quasi-compact.
En ce qui concerne le coup de l'union d'un élément $U\in T$ et d'un élément $V\in A$, son complémentaire est dans $X$ car $z\in V$ par définition de $A$, il se trouve qu'il s'agit d'un fermé de $(X,T)$ et qu'il est contenu dans un quasi-compact de la même topologie (le complémentaire de $V$ dans $X'$ l'est par définition).
Pour les intersections finis et les unions, l'idée, avec les mains, c'est de mettre d'un côté les éléments de $A$ et de l'autre les éléments de $B$ faire les opérations dans leurs coins avant d'assembler, sachant qu'on sait déjà de $A$ de $T$ et des "termes croisés" (si tu as fait de la logique, ça peut se faire très proprement, sinon, je ne sais pas et je pense qu'une explication dans ce goût-là suffit).
Bonne soirée,
Je pense avoir réussi à montrer que (X', T') est quasi-compact :
Soit $X = \cup U_i, i \in t$ avec $U_i$ des ouverts de X.
Un certain $ U_{i_1} $ contient $z$ son complémentaire est compact et recouvert par les $U_j$ pour $j \neq i_1$
On peut le recourir alors par les $U_j$ pour $j \in J$ fini.
L'ensemble des $U_i$ pour $i \in J \cup i_1$ est un recouvrement fini de $X$
Maintenant je cherche à répondre aux questions initiales que j'avais posé au début du post
J'ai trouvé des choses intéressantes dans un livre et en combinant ce que vous avez fait plus haut :
$T'$ est séparée
alors pour tout $x, y \in X, x \neq y, $ il existe $ U \in T' , V \in T' $ tel que $ U \cap V = \oslash$
or les éléments de $T' \setminus \{z \} \in T$
donc pour tout $x, y \in X, x \neq y, $ il existe $ U \in T' \setminus \{z \}, V \in T'\setminus \{z \} $ tel que $ U \cap V = \oslash$ (je ne suis pas sûr ici)
c'est à dire pour tout $x, y \in X, x \neq y, $ il existe $ U \in T, V \in T $ tel que $ U \cap V = \oslash$
Donc ($X,T)$ séparé
On peut donc séparer deux points de $X$ par des ouverts puisque $X$ est séparé.
Montrons qu'on peut séparer un point $x \in X$ de $z$.
Puisque $X$ est localement compact (je ne suis encore sur ici) alors on se donne $K'$ un voisinage compact de $x$.
On peut donc faire ce ceci pour chaque point de $X$
Ils rajoutent ensuite que $IntK$ et $X' \setminus K'$ sont des ouverts qui séparent $x$ et $z$ mais je ne pense pas que ceci soit demandé et en plus je ne comprends pas ce qu'est $Int K$
Ensuite on peut le faire dans "l'autre sens" en remontant ce que j'ai écrit plus haut je pense.
Par contre pour la question 2) je n'ai aucune idée.
Bien joué. En ce qui me concerne, rien à redire du côté $(X',T')$ quasi-compact.
Pour ce qui est de $T'$ séparé implique $T$ séparé, c'est bien, mais il y a une notation très gênante. Quand tu écris $T\setminus \{z\}$ ça signifie "l'ensemble des ouverts sauf $\{z\}$" (ce qui correspond à l'ensemble des ouverts, sauf si $(X,T)$ est lui-même quasi-compact). Tu ferais mieux d'écrire si $U\in T'$ alors $(U\setminus \{z\}) \in T$.
On était pas obligé de faire appel à la notion d'intérieur pour montrer que tout $x\in X$ possède un voisinage fermé et quasi-compact, mais honnêtement, si tu ne connais pas la notion, tu vas vite avoir des problèmes.
L'intérieur d'un ensemble A, qu'on note int(A), ou A avec un petit rond dessus (j'ai oublié la commande latex, je crois qu'elle est compliqué celle-là), c'est l'union de tout les ouverts contenu dans A (donc c'est contenu dans A et on peut dire que c'est "le plus grand ouvert contenu dans A" parce que tout les ouverts contenu dans A sont effectivement contenu dans $int(A)$).
Tu es allé beaucoup trop vite en supposant que $(X,T)$ est localement compact sachant que $(X,T)$ est séparé, c'est justement ce que tu dois démontrer. Je te remets sur les rails montrer ce truc sans passer par la notion d'intérieur (c'est la dernière).
$(X',T')$ est séparé, donc $\forall x\in X, \exists (U,V)\in T^2: x\in U\wedge z\in V \wedge U\cap V = \emptyset$. On nomme $K=X'\setminus V$, pour conclure tu peux te contenter de répondre à ces questions en argumentant avec les définitions ou ce que tu as fait précédemment:
-Quelle sont les propriété de $K$ dans $(X,T)$?
-quelle relation entre $U$ et $T$?
-quelle relation entre $U$ et $K$?
Normalement, tu as les cartes en mains pour répondre.
Je suppose que tu es étudiant, bon en ce qui me concerne, je n'ai pas fait d'étude de math, mais je suppose que tu peux te faire fusiller si tu oublies les définitions de bases et quelques conventions qui vont avec (parce que c'est pareil ailleurs). Donc, je te conseille fort de réviser de temps en temps les définition de base afin de pouvoir les balancer du tac au tac, la notion d'intérieur par exemple. Et même dans un cadre non académique, je te conseille de prendre le temps de bien maîtriser les choses simples avant d'aller aux trucs compliqués, sinon on se noie (ou pire, on atteint le fond et on creuse, mais je ne suis pas là pour taper sur les shtameurs récurrents).
Oui vous avez totalement raison je manque de beaucoup de rigueur et j'y travaille !
Ah oui autant pour moi ! Je n'utilise jamais la notation $intA$ mais tout le temps $ \mathring{A} $ (commande LaTex :
\mathring{A}Je vais réfléchir à tout ça je vous remercie !
Oui exactement je suis étudiant et oui vous avez totalement raison. Mais dans ce semestre il y a énormément de nouvelles notions et c'est très durs de tout assimiler en très peu de temps dans les 4 matières de mathématiques. De plus, les cours à distances n'arrangent rien ... Mais je vais revoir tout ça pendant les vacances pour avoir de bonnes bases. En tout cas, je vous remercie de votre bienveillance (ce qui est rare ...) et de tous vos conseils !