Topologie usuelle de $\R^2$
Bonsoir à tous et à chacun !!
S'il vous plaît, j'ai un exercice sur lequel je coince depuis un bon moment.
Le voici
On considère le disque ouvert $U=\{(x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2<1 \}$.
Soit $(x,y) \in U$ on pose $r=\sqrt{x^2+y^2},\ \epsilon=1-r,$
$ U_{x}=\,]x-\epsilon \frac{\sqrt{2}}{2},x+\epsilon \frac{\sqrt{2}}{2}[ ,\ V_{y}=\,]y-\epsilon \frac{\sqrt{2}}{2},y+\epsilon \frac{\sqrt{2}}{2}[$
Montrer que $U_{x}\times V_{y} \subset U$.
J'ai tenté deux choses.
- J'ai pris un élément de $U_{x}\times V_{y}$ et j'ai tenté différentes majoration pour montrer que la somme de leurs carrés est plus petite que 1.
- J'ai tenté de montrer que la distance du centre $O$ à chaque sommet de mon pavé est plus petit que 1.
Mais dans tous les deux cas, je ne trouve pas les bonnes majorations.
Besoin de votre aide s'il vous plaît.
S'il vous plaît, j'ai un exercice sur lequel je coince depuis un bon moment.
Le voici
On considère le disque ouvert $U=\{(x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2<1 \}$.
Soit $(x,y) \in U$ on pose $r=\sqrt{x^2+y^2},\ \epsilon=1-r,$
$ U_{x}=\,]x-\epsilon \frac{\sqrt{2}}{2},x+\epsilon \frac{\sqrt{2}}{2}[ ,\ V_{y}=\,]y-\epsilon \frac{\sqrt{2}}{2},y+\epsilon \frac{\sqrt{2}}{2}[$
Montrer que $U_{x}\times V_{y} \subset U$.
J'ai tenté deux choses.
- J'ai pris un élément de $U_{x}\times V_{y}$ et j'ai tenté différentes majoration pour montrer que la somme de leurs carrés est plus petite que 1.
- J'ai tenté de montrer que la distance du centre $O$ à chaque sommet de mon pavé est plus petit que 1.
Mais dans tous les deux cas, je ne trouve pas les bonnes majorations.
Besoin de votre aide s'il vous plaît.
Réponses
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Je n’ai pas regardé de près.
Cependant, cherchons le problème à l’envers : je prends un point $(x;y)$ à l’intérieur du disque, quel est le plus grand carré « cartésien » (puis rectangle « cartésien », si on veut s’amuser un peu) de centre $(x;y)$ inclus dans le disque ?
Une seule idée : faire des dessins.
Remarque : comme un disque a plein de symétries, se placer à un endroit c’est la même chose que se placer sur le segment $[0;1]\times \{0\}$ privé de $(1;0)$.
Finalement non, car un produit cartésien c’est un carré bien « droit » et pas « penché ».
J’ai renommé « carré » en « carré cartésien » même si ce n’est pas un ensemble de la forme $D\times D$ que je désigne par « carré cartésien ». -
Je suppose que ton idée principale est dans le premier paragraphe.
En fait j'ai déjà fait des dessins, mais aucune idée ne m'est venue c'est pour ça que j'ai décidé de m'attaquer directement avec les calculs. -
Tu veux montrer que étant donné un cercle C de centre A et rayon r il est toujours possible de trouver un ensemble de la forme ]a, b[ x ]c, d[ contenu dans C pour certains réels a, b, c et d. Si tu fais un dessin il est évident que le choix a=c=-r/2 et b=c=r/2 convient en prenant comme origine des coordonnées le centre du cercle.
-
Bonjour Serge et merci pour ton intervention. Mais l'idée de cet exercice est de montrer qu'étant donné un cercle et un point x du cercle , je peux toujours trouver un pavé inclus dans le cercle et contenant ce x.
Dans le cadre cet exercice, ils nous ont déjà donné le pavé en question et veulent qu'on prouve qu'il vérifie ces conditions. -
Bonjour.
Il me semble que le plus simple est de montrer qu'un point $M$ dans $U_{x}\times V_{y}$ vérifie $AM<\epsilon$ (où $A(x,y)$) puis $OM<OA+AM$.
Cordialement.
NB : d'où sort cette idée : le calcul avec les carrés de $x\pm\epsilon \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $y\pm\epsilon \frac{\sqrt{2}}{2}$ est pénible, alors qu'on veut seulement démontrer qu'on ne s'éloigne pas trop de $A$. -
Bonjour;, par symétrie, tu peux toujours supposer que $0 < y < x < 1$ ; le point $M(x,y)$ est à une distance $r$ de $O$; compare la distance de $M$ au cercle de rayon 1 et celle de $M$ au point $A$ qui est le coin le plus éloigné de $O$...à l'aide de $r$ sachant $\varepsilon = 1 - r$.A demon wind propelled me east of the sun
-
Super !! Ça marche Gerado ! merci à toi.
Merci beaucoup à tous !! -
Attention, mon nom est gerard0 (zéro), pas gerardO. Mon successeur sera donc gerard1, pas gerardP.
Cordialement. -
Cet énoncé vient, me semble-t-il, des faits suivants :
1) on a dans $\R^2$, $\|\cdot\|_2 \leq \sqrt{2} \|\cdot\|_\infty$ ;
2) de quoi on déduit que pour tout $m\in \R^2$ et tout $r>0$, la boule pour la norme infinie de centre $m$ et de rayon $r$ est incluse dans la boule de centre $m$ et de rayon $\sqrt{2}r$ pour la norme $2$ ;
3) ensuite, pour tout $m$ dans la boule ouverte pour la norme $2$ (qui n'est autre que $U$), la boule ouverte de centre $m$ et de rayon $1-\|m\|_2$ pour la norme $2$ est incluse dans $U$ (c'est une démonstration "à la main" que les boules ouvertes sont ouvertes) ;
4) il ne reste plus qu'à remarquer que $U_x \times V_y$ est la boule pour la norme infinie de centre $m=(x,y)$ et de rayon $\varepsilon/\sqrt{2}$, et la transitivité de l'inclusion permet de conclure.
2) à 4) se voient bien sur des dessins. -
:-D très drôle monsieur Gérard0.
Bonsoir à tous !!
math2 je trouve ta démarche très astucieuse et bonne . Je te remercie de l'avoir posté.
Mais qu'est-ce qui t'a fait penser à raisonner avec les normes ?? -
C'est naturel de penser en terme de normes puisque les disques usuels sont les boules pour la norme euclidienne tandis que les carrés dont les côtés sont parallèles aux axes sont les boules pour la norme infinie.
-
En fait ma démarche n'a rien d'astucieuse, j'ai tout de suite traduit ta question en terme de boules.
Ensuite, je me souviens du résultat suivant (j'écris en $0$, mais on s'en moque). Soit $E$ un espace vectoriel muni de deux normes $N_1$ et $N_2$, $r$ et $\alpha$ deux nombres strictement positifs, et $B_i(0,\rho)$ la boule (ouverte ou fermée) de centre $0$ et de rayon $\rho>0$ pour la norme $N_i$. Alors les deux assertions suivantes sont équivalentes :
1) $B_1(0,r) \subset B_2(0,\alpha r)$
2) $N_2 \leq \alpha N_1$
(petit exercice intéressant pédagogiquement pour l'un des sens, cela fait réviser un raisonnement d'homogénéité aux étudiants).
Du coup, ta question se traduit en termes de normes, et l'égalité à démontrer est alors facile.
J'aime beaucoup l'énoncé que j'écris ci-dessus : il traduit en particulier géométriquement l'équivalence entre deux normes. Dire que deux normes $N_1$ et $N_2$ sont équivalentes revient simplement à dire que l'on peut coincer la boule $B_1(0,1)$ (il suffit de le faire pour $r=1$ par homogénéité) entre deux boules $B_2(0,r)$ et $B_2(0,r')$. Bref, sans que ce soit une vraie démonstration, l'équivalence des trois normes usuelles de $\R^2$ se "voit" sur la figure. -
D'accord merci pour tout !!
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Bonjour!
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