Théorème de Baire et fermé d’intérieur vide
Bonjour,
Je bloque sur cet exercice de TD :
Montrez qu'un fermé dénombrable de R a au moins un point isolé.
Un point x est isolé si et seulement si {x} est un ouvert.
Soit F un fermé dénombrable de R.
Si F n'a aucun point isolé, alors tous les singletons sont des fermés d’intérieur vide, le théorème de Baire permet de conclure que F est un fermé d'intérieur vide.
Je ne vois pas ce qui est contradictoire ici..
Merci d'avance !
Je bloque sur cet exercice de TD :
Montrez qu'un fermé dénombrable de R a au moins un point isolé.
Un point x est isolé si et seulement si {x} est un ouvert.
Soit F un fermé dénombrable de R.
Si F n'a aucun point isolé, alors tous les singletons sont des fermés d’intérieur vide, le théorème de Baire permet de conclure que F est un fermé d'intérieur vide.
Je ne vois pas ce qui est contradictoire ici..
Merci d'avance !
Réponses
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Il faut que tu comprennes que l'on parle d'ouverts et d'intérieurs au sens de la topologie induite sur $F$. Bien sûr les singletons $\{x\}$ sont toujours d'intérieur vide dans $\mathbb R$.
Ici la contradiction vient du fait que $F$ n'est pas d'intérieur vide pour la topologie induite sur $F$ ! (sauf si $F = \emptyset$). -
Ah oui bien-sûr !
Pour la topologie induite sur F, F est un ouvert donc son intérieur vaut F, qui ne vaut l'ensemble vide que si F est vide.
Merci bien,
Cordialement
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Bonjour!
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