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Théorème de Baire et fermé d’intérieur vide

Pierre974Pierre974
dans Topologie
Bonjour,
Je bloque sur cet exercice de TD :

Montrez qu'un fermé dénombrable de R a au moins un point isolé.

Un point x est isolé si et seulement si {x} est un ouvert.

Soit F un fermé dénombrable de R.
Si F n'a aucun point isolé, alors tous les singletons sont des fermés d’intérieur vide, le théorème de Baire permet de conclure que F est un fermé d'intérieur vide.

Je ne vois pas ce qui est contradictoire ici..
Merci d'avance !

Réponses

  • PoirotPoirot
    Il faut que tu comprennes que l'on parle d'ouverts et d'intérieurs au sens de la topologie induite sur $F$. Bien sûr les singletons $\{x\}$ sont toujours d'intérieur vide dans $\mathbb R$.

    Ici la contradiction vient du fait que $F$ n'est pas d'intérieur vide pour la topologie induite sur $F$ ! (sauf si $F = \emptyset$).
  • Pierre974Pierre974
    Ah oui bien-sûr !
    Pour la topologie induite sur F, F est un ouvert donc son intérieur vaut F, qui ne vaut l'ensemble vide que si F est vide.
    Merci bien,
    Cordialement
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