Formule tirée du lemme de Burnside

Réponses

• Maxtimax

  December 2020

  Cette formule s'obtient en remarquant que $|Fix_X(g)|$ ne dépend que de la classe de conjugaison de $g$, et que ce terme apparait donc $|C(g)|$ fois dans la somme qui figure dans le lemme de Burnside.
  
  Plus précisément, tu peux réécrire $\sum_{g\in G}$ en $\sum_{g\in S}\sum_{h\in C(g)}$ et voir que le sommande est constant en $h$
• Math Coss

  December 2020

  La somme sur $G$ est remplacée par une somme sur $S$ où chaque terme de la première est multiplié par $\left|C(g)\right|$. Cela provient de la partition de $G$ comme réunion des $C(g)$ ($g\in S$) et du constat que si $g$ et $g'$ sont conjugués, l'ordre de $\mathrm{Fix}_G(g)$ est égal à celui de $\mathrm{Fix}_G(g')$ ; en effet, si $g'=hgh^{-1}$ pour $h\in G$ et si $x\in X$, on a \begin{align*}
  x\in\mathrm{Fix}_X(g')&\iff hgh^{-1}\cdot x=x\\
  &\iff g\cdot (h^{-1}\cdot x)=h^{-1}\cdot x\\&
  \iff h^{-1}\cdot x\in\mathrm{Fix}_X(g)\\
  &\iff x\in h\cdot\mathrm{Fix}_X(g),\end{align*}si bien que l'action de $h$ induit une bijection d'un ensemble de points fixes sur l'autre.
  
  Edit : grillé. En passant, je n'ai jamais utilisé cette formule. Il me semble qu'en général, la détermination de $S$ et des cardinaux des classes est un peu pénible.
• emma.18

  December 2020

  Merci pour votre aide, j'avais déjà montré la bijection avant mais je n'avais pas fait le lien.
  
  Et du coup j'essaye d'utiliser cette formule de manière plus concrète sur des exemples, je trouve ça plus parlant.
  
  J'ai pris l'exemple de l'action naturelle de Sym({1,2,3,4}) sur {1,2,3,4} comme elle est transitive c'est un exemple intéressant (je n'arrive pas à prouver de manière rigoureuse qu'elle est transitive mais elle l'est) comme je dois trouver k=1. Comme $\mathfrak S_4$ a 5 classes de conjugaison, |C(g)|=5, |G|=4! =24, mais je ne suis pas très à l'aise sur le calcul de |FixX(g)|.
  
  Un autre exemple sur lequel j'aimerais travailler : l'action de $\mathfrak S_4$ sur l'ensemble des parties de {1,2,3,4}, définie par w . A = { w(a) | a appartient à A } pour tout A inclus dans {1,2,3,4}. Je voudrais compter de manière "manuelle" le nombre d'orbites et le vérifier avec cette formule.
  
  Je ne peux pas demander de l'aide à mon prof comme il est en vacances mais si vous aviez des pistes à me donner, ça serait super sympa !
  Merci d'avance
  Emma.
• Math Coss

  December 2020

  Quand on a la décomposition en cycles disjoints, les points fixes sont ceux qui ne sont dans aucun cycle.
• Thierry Poma

  December 2020

  @Math Coss : bonjour. J'espère que tu vas bien. Tu écris
  

  si bien que l'action de $h$ induit une bijection d'un ensemble de points fixes sur l'autre.

  
  En es-tu certain ?

  Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).