Distance dans un espace métrique

Soit $x, y, z \in X$. On cherche à montrer que $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$. On peut supposer $x \leq z$ sans perdre de généralité. Alors $d(x,z) = e^{-x} - e^{-z}$. On a trois cas selon si $y \leq x, x \leq y \leq z$ ou $z \leq y$, que l'on traite séparément.

- Si $y \leq x$, alors $d(x,y) = e^{-y} - e^{-x}$ et $d(y,z) = e^{-y}-e^{-z}$ et donc $d(x,y)+d(y,z) = 2e^{-y} - e^{-x} - e^{-z} \geq 2e^{-x}-e^{-x}-e^{-z} = d(x,z)$.

- Si $x \leq y \leq z$ alors $d(x,y) = e^{-x}-e^{-y}$ et $d(y, z) = e^{-y} - e^{-z}$ et donc $d(x,y)+d(y,z) = e^{-x} - e^{-z} = d(x,y)$.

- Si $z \leq y$ alors $d(x,y) = e^{-x}-e^{-y}$ et $d(y,z) = e^{-z} - e^{-y}$ et donc $d(x,y)+d(y,z) = e^{-x} + e^{-z} - 2 e^{-y} \geq e^{-x} + e^{-z} - 2 e^{-z} = d(x,y)$.

Un grand merci .

Je vais potasser tout ça