Distance dans un espace métrique
Réponses
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Soit $x, y, z \in X$. On cherche à montrer que $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$. On peut supposer $x \leq z$ sans perdre de généralité. Alors $d(x,z) = e^{-x} - e^{-z}$. On a trois cas selon si $y \leq x, x \leq y \leq z$ ou $z \leq y$, que l'on traite séparément.
- Si $y \leq x$, alors $d(x,y) = e^{-y} - e^{-x}$ et $d(y,z) = e^{-y}-e^{-z}$ et donc $d(x,y)+d(y,z) = 2e^{-y} - e^{-x} - e^{-z} \geq 2e^{-x}-e^{-x}-e^{-z} = d(x,z)$.
- Si $x \leq y \leq z$ alors $d(x,y) = e^{-x}-e^{-y}$ et $d(y, z) = e^{-y} - e^{-z}$ et donc $d(x,y)+d(y,z) = e^{-x} - e^{-z} = d(x,y)$.
- Si $z \leq y$ alors $d(x,y) = e^{-x}-e^{-y}$ et $d(y,z) = e^{-z} - e^{-y}$ et donc $d(x,y)+d(y,z) = e^{-x} + e^{-z} - 2 e^{-y} \geq e^{-x} + e^{-z} - 2 e^{-z} = d(x,y)$. -
Soient $X$ un ensemble, $(Y,d_Y)$ un espace métrique et $f:X\to Y$ une fonction injective. On pose $d_X(x,x')=d_Y(f(x),f(x'))$. Alors $d_X$ est une distance sur $X$.
On l'applique à $X=[0,+\infty[$, $Y=\R$ et $f(x)=e^{-x}$. -
Un grand merci .
Je vais potasser tout ça
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Bonjour!
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