Distances

KPODODJINONTO Alexis · January 2021

Comment montrer l'équivalence entre deux distance et topologique ment équivalente

Poirot · January 2021

Quelle est la question ? C'est incompréhensible actuellement.

AlainLyon · January 2021

Je corrige la question.

Comment prouver que $d_1$ et $d_2$ vérifient $k_1d_1\leq d_2\leq k_2d_1$ avec $k_1$ et $k_2$ positifs non nuls (distances équivalentes) si et seulement si $d_1$ et $d_2$ définissent la même topologie (mêmes ouverts) ?

Il y a un sens à cette équivalence qui est plus facile que l'autre.
Pour le sens réciproque il faut utiliser que les fermés bornés sont les compacts dans la topologie définie par une distance, en admettant s'il manque du temps, ce théorème.

Poirot · January 2021

@AlainLyon: Quel rapport avec la compacité ? Et depuis quand les fermés bornés pour une distance sont les compacts pour cette distance ?

AlainLyon · January 2021

Bonjour et bonne année 2021.
Je me souviens que ceci peut se démontrer en partant du théorème de Bolzano-Weierstrass

Martial · January 2021

@AlainLyon : tu confonds 2 trucs.
Bolzano-Weierstrass et sa réciproque te permettent de démontrer qu'un espace métrique est compact ssi de toute suite de cet espace on peut extraire une sous-suite convergente.
Ensuite tu démontres par exemple que dans $\mathbb{R}$ tout intervalle $[a,b]$ satisfait cette dernière propriété, et tu en déduis que les compacts de $\mathbb{R}$ sont exactement les fermés bornés.

Dans le cas général (métrique) il reste vrai que tout compact est fermé borné mais la réciproque est fausse, comme le signale très justement Poirot. Par exemple dans un Banach de dimension infinie la boule unité fermée est fermée, bornée, et pas compacte (théorème de Riesz).

AlainLyon · January 2021

Pour la question d'Alexis.
Si $d_1$ et $d_2$ vérifient $k_1d_1\leq d_2\leq k_2d_1$ avec $k_1$ et $k_2$ positifs non nuls alors les boules ouvertes pour $d_2$ contiennent une boule ouverte pour $d_1$ et les boules ouvertes pour $d_1$ contiennent une boule ouverte pour $d_2$ : tout voisinage pour $d_2$ est un voisinage pour $d_1$ et tout voisinage pour $d_1$ est un voisinage pour $d_2$ donc $d_1$ et $d_2$ définissent la même topologie.
Je ne sais pas si la réciproque est vraie.

Martial · January 2021

Non, la réciproque est fausse : tu peux avoir 2 distances topologiquement équivalentes sans qu'elles soient équivalentes au sens où tu l'as défini.
(Hélas, je n'ai pas de contre-exemple sous la main).

Poirot · January 2021

Tu peux prendre la valeur absolue usuelle sur $\mathbb R$ et la distance $(x, y) \mapsto |\arctan(x) - \arctan(y)|$.

Martial · January 2021

Merci Poirot pour le contre-exemple.

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