Bonjour, soit $A\subset X$ où $X$ est un espace topologique. Est-ce que si on dit que tout élément de l'adhérence $\bar A$ s'écrit comme la limite d'une suite dans $A$ cela sous-entend que $X$ est à base dénombrable de voisinages?
Non $X,T$ une topologie séparée à base non dénombrable de voisinages et $A=\lbrace a\rbrace$ avec $a\in X$. La partie $A$ est fermée son adhérence $A$ est limite de la suite constante égale à $a$.
Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
Si on a une topologie à base dénombrable de voisinages alors la fermeture séquentielle est égale à l'adhérence pour tout sous-ensemble de $X$. Autrement, on a seulement une inclusion (de la fermeture séquentielle dans l'adhérence).
Vu que l'adhérence n'est pas inclue dans la fermeture séquentielle, dans quel cas ne peut-on pas décrire un élément de l'adhérence par une limite d'une suite de $A$? Dans mes exercices c'est toujours le cas même pour des topologies non-métrisables.
L'adhérence de $\mathcal{C}[0,1]$ pour la topologie de la convergence simple n'est pas un espace de fonctions mais son dual topologique (i.e un espace de distributions). Il est toujours possible, avec l'axiome du choix général, de trouver une distribution qui n'est pas limite simple de fonctions continues, mais cette version de l'axiome du choix n'est pas philosophiquement constructiviste.
Voici l'axiome du choix : soit $E$ un ensemble non vide, il existe une injection $ P(E)\backslash\emptyset\rightarrow E$
Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
N'importe quoi, ton énoncé est trivialement vrai avec $a \mapsto \{a\}$ par exemple. Une fonction de choix, c'est plutôt une $f : \mathcal P(E) \setminus \{\emptyset\} \to E$ telle que $f(A) \in A$ pour tout $A \in \mathcal P(E) \setminus \{\emptyset\}$.
Réponses
Vu que l'adhérence n'est pas inclue dans la fermeture séquentielle, dans quel cas ne peut-on pas décrire un élément de l'adhérence par une limite d'une suite de $A$? Dans mes exercices c'est toujours le cas même pour des topologies non-métrisables.
Voici l'axiome du choix : soit $E$ un ensemble non vide, il existe une injection $ P(E)\backslash\emptyset\rightarrow E$