Groupes de Lie
Bonjour ,
Je lis dans mon cours que la translation (à gauche ou droite) de 2 vecteurs d'un groupe de Lie G est un difféomorphisme qui induit
La notion de groupe semble bien abordable en licence mais là je suis perdue dans les groupes de Lie ...
Merci beaucoup.
Je lis dans mon cours que la translation (à gauche ou droite) de 2 vecteurs d'un groupe de Lie G est un difféomorphisme qui induit
un isomorphisme entre espaces tangents.
Quel est cet isomorphisme ?La notion de groupe semble bien abordable en licence mais là je suis perdue dans les groupes de Lie ...
Merci beaucoup.
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Réponses
Voici un truc plus sensé : soit $g\in G$. Soit $L_g$ l'application $G\to G$ définie par $x\mapsto gx$. Alors $L_g$ est un difféomorphisme de $G$ sur lui-même. Pour tout $x_0\in G$, la différentielle de $L_g$ au point $x_0$ est un isomorphisme de $T_{x_0}G$ sur $T_{gx_0}G$.
Je vais essayer de comprendre cette notion
Mais $R_g:x\mapsto xg$ induit un autre isomorphisme en général, non ? Donc l'isomorphisme entre $T_xG$ et $T_eG$ n'a pas l'air vraiment canonique.
L'intérêt du mot dans le message de Poirot est (notamment) que la "canonicité" permet de déduire que le tangent de $G$ se trivialise, puisqu'on a
$G\times T_eG\to G$ donnée par $(g,w) \mapsto (g, d_e L_gw)$. En ceci (le choix "peut être fait uniformément") il est "canonique".
(Considère les deux groupes $\mathbb U_n$ et $\mathbb Z/n\mathbb Z$: il y a un iso canonique qui envoie $1$ sur $e^{\frac{2i\pi}{n}}$ , pourtant il y a beaucoup d'autres isomorphismes)
Tu sais certainement que de toute façon, tout groupe est commutatif, à conjugaison près :-D
En fait, tu as tout à fait raison que $R_g$ fournit aussi un isomorphisme canonique, et bien sûr, si $G$ est commutatif, c'est le même. Comme $G$ est toujours commutatif, c'est toujours le même.
Oups, à conjugaison près :-D Plus précisément, regardons ça : $d_eR_g$ et $d_eL_g$ induisent deux isomorphismes $T_eG\to T_gG$. Comment on compare 2 isos ? Bah on les compose, ça me donne un truc $T_eG \to T_eG$, que je vais appeler $ad(g)$. Eh bah (et c'est assez facile à vérifier) $ad(g)$ est aussi la différentielle de $x\mapsto gxg^{-1}$ en $e$, et il s'ensuit assez facilement aussi que ça induit une action de $G$ sur $T_eG$, i.e. un truc $G\to GL(T_eG)$
Le truc amusant, c'est qu'on peut alors la dériver. Mais l'espace tangent à $GL(V)$ en $id$ est canoniquement (je te laisse voir ce que je veux dire par là) isomorphe à $\mathcal L(V)$, donc ici quand on dérive on obtient un truc $T_eG\to \mathcal L(T_eG)$, i.e. une application bilinéaire $T_eG\times T_eG\to T_eG$. Dernier truc, on note $\mathfrak g = T_eG$, et donc on a une application bilinéaire $\mathfrak g\times \mathfrak g\to \mathfrak g$.
Tu reconnais certainement cette écriture : on vient de redécouvrir le crochet de Lie sur $\mathfrak g$. En d'autres termes, le crochet de Lie est une mesure linéaire d'à quel point ces deux isomorphismes canoniques sont différents.
Autant dire que tout groupe est commutatif... à défaut de commutation près. :-D Vu que la commutativité équivaut à la trivialité des conjugaisons.
Je reviens sur ce post.
La question qu'on m'a posée est d'expliquer pourquoi l'application qui à X associe X(e) induit cet isomorphisme (entre les champs de vecteurs invariants à gauche et l'espace tangent à G en e).
X étant un champ de vecteurs sur G.
Comment fait-on cette démonstration ?
Merci.