Espace topologique quotient non séparé

Julia Paule
Julia Paule
dans Topologie
Bonjour,

Je bute sur un point de détail de la démonstration de la remarque 2.5 du document ci-joint, montrant un contre-exemple à : espace topologique séparé => espace topologique quotient séparé.

C'est la phrase : "$y-x_0$ est limite d'une suite de rationnels $r_n$ de rationnels, donc $y \in V$" qui me pose problème.
Alors $y$ est limite de la suite $x_0+r_n$ de points de $V$ ouvert, mais cette suite ne converge pas forcément dans $V$ ?

Merci d'avance.

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    En effet, il faudrait soit considérer un fermé $U$ (l'argument est alors bon), ou considérer $x_0-y = \lim_n r_n$ (et alors si $y\notin V$, la limite des $y+r_n$ n'y est pas non plus)
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Merci beaucoup Maxtimax. J'aime bien : considérer $U$ fermé, alors ça marche : les seuls fermés sont $\mathbb{R} / \mathbb{Q}$ et $\emptyset$, donc les seuls ouverts aussi.

    Pour l'autre, tu veux dire la limite supérieure (c'est bien ça ?) des $y-r_n$ ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Non juste la limite des $y+r_n$ : $V$ est saturé, donc son complémentaire aussi (puisque $\Q$ est stable par "moins" :-D ), et il est fermé. Mais ça revient à considérer $U$ fermé de manière détournée, donc le premier est quand même mieux.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Ok merci. $V$ est saturé, donc son complémentaire aussi : c'est général ?
  • raoul.S
    raoul.S
    $V$ est saturé si pour tout $v\in V$, la classe d'équivalence de $v$ est contenue dans $V$. Donc dire que $V$ est saturé signifie qu'il est réunion de classe d'équivalences.

    Le complémentaire de $V$ aussi du coup.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    La solution de raoul marche, mais peut-être plus visuellement : si $x\in V \implies (x\sim y \implies x\in V)$, alors $x\sim y \implies (x\in V\implies y\in V)$ et donc, par contraposée, $x\sim y \implies (y\notin V\implies x\notin V)$
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Ok merci à vous deux. Donc oui. Cela parait évident intuitivement car si $V$ est saturé, il occupe une ou plusieurs classes d'équivalence, et comme $X$ est partitionné en classes d'équivalence, le complémentaire de $V$ occupe toutes les autres.
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