Relation d'équivalence fermée
dans Topologie
Bonjour,
Je bute sur l'exercice suivant.
Soit $X$ un espace topologique compact, et $\sim$ une relation d'équivalence fermée sur $X$. Alors l'espace quotient $X / \sim $ est séparé.
Je suis seulement arrivée à montrer que si $x$ et $x'$ sont deux points distincts de l'espace quotient, alors $p^{-1}(x)$ et $p^{-1}(x')$ ($p$ projection de $X$ sur $X / \sim $) sont fermés dans $X$ compact, donc inclus dans deux ouverts disjoints (séparation des fermés dans un espace topologique compact), mais cela ne veut pas dire que l'image de ces deux ouverts de $X$ soient des ouverts de $X / \sim $ ?
Je bute sur l'exercice suivant.
Soit $X$ un espace topologique compact, et $\sim$ une relation d'équivalence fermée sur $X$. Alors l'espace quotient $X / \sim $ est séparé.
Je suis seulement arrivée à montrer que si $x$ et $x'$ sont deux points distincts de l'espace quotient, alors $p^{-1}(x)$ et $p^{-1}(x')$ ($p$ projection de $X$ sur $X / \sim $) sont fermés dans $X$ compact, donc inclus dans deux ouverts disjoints (séparation des fermés dans un espace topologique compact), mais cela ne veut pas dire que l'image de ces deux ouverts de $X$ soient des ouverts de $X / \sim $ ?
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Réponses
Voilà une astuce : un espace $Y$ est séparé si et seulement si la diagonale $\Delta\subset Y\times Y$ est fermée. Maintenant, il s'agit de 1- montrer que la projection $X\times X\to X/\sim \times X/\sim$ est un quotient (au sens topologique) et 2- identifier l'image réciproque de la diagonale de $X/\sim\times X/\sim$. Le point 2- est tout à fait général, et le point 1- va utiliser la compacité de $X$
(Comment penser à cette astuce ? La fermeture de $R$ dans $X\times X$ indique qu'on va devoir s'intéresser à des machins dans $X\times X$)
Donc $p^{-1}(x)$ et $p^{-1}(x')$ sont deux fermés disjoints, inclus dans $O$ et $O'$ deux ouverts disjoints de $X$. Leurs complémentaires $F$ et $F'$ sont des parties fermées, donc leurs saturés sont des parties fermées (car $\sim$ est fermée), de complémentaires ouverts disjoints et saturés, et d'images ouvertes disjointes qui contiennent $x$ et $x'$.
Je vais regarder ce que tu proposes : je dois faire dans un autre exercice : un espace topologique est séparé ssi la diagonale $\Delta=\{(x,x) \mid x \in X \}$ est un fermé de $X \times X$.