Partie fermée dans un sous-espace

Ok merci gerard0. Quelle serait alors, dans les mêmes hypothèses, une condition pour que $B$ soit une partie fermée de $X$ ?

Merci beaucoup. Je n'ai pas assez réfléchi. $X \setminus B = (X \setminus Y) \cup (Y \setminus $, donc si $Y$ est fermée dans $X$, alors $B$ est fermée dans $X$. Ton exemple me convainc totalement !

Merci beaucoup NoName. Ma démonstration est fausse en effet, et cela ne m'étonne pas car j'ai du mal avec la topologie induite.

$B$ est un fermé de $Y$ donc $Y \setminus B$ est un ouvert de $Y$, donc s'écrit $Y \cap O$, avec $O$ un ouvert de $X$.
Alors $X \setminus B =(X \setminus Y) \cup (Y \setminus = (X \setminus Y) \cup (Y \cap O)=(X \setminus Y) \cup O $, union de deux ouverts de $X$, c'est un ouvert de $X$, donc $B$ est un fermé de $X$.

En effet, si $X$ est séparé et $B$ quasi-compact (pour la topologie induite), alors $B$ est fermé.

Ce que je ne comprends pas dans la topologie induite, c'est qu'on ne précise pas quand on parle d'une partie ouverte ou d'une partie fermée, de quel espace topologique, par rapport à quel autre. Dans la définition, on ne parle que d'un ouvert de $Y$, ou d'un fermé de $Y$.

Je m'explique : dans un espace topologique $X$, soit $Y$ une partie de $X$, on dit que $B$ est une partie ouverte de $Y$ s'il existe un ouvert $O$ de $X$ tel que $B=O \cap Y$.
Maintenant, si on inclut $X$ dans un espace topologique $Z$, $X \subset Z$, quand on parle d'un ouvert de $Y$ (sans plus), c'est un $O \cap Y$, avec $O$ ouvert de $X$ ou $O$ ouvert de $Z$ ?

Merci d'avance.

Bonjour,

C'est vérifié. La topologie de $Y$ induite de celle de $X$ vit par elle-même. Maintenant si on inclut $X$ dans $Z$ et on considère que la topologie de $X$ était en fait (sans le dire, mais en le disant) la topologie induite de celle de $Z$, alors la topologie de $Y$ induite de celle de $X$ est la même que la topologie de $Y$ induite de celle de $Z$ (je l'écris pour m'en convaincre). Idem si on insère $Z$ entre $Y$ et $X$, muni de la topologie induite de celle de $X$.

Par contre, si on inclut $X$ dans $Z$, sans considérer que la topologie de $X$ est la topologie induite de celle de $Z$, les ouverts de $Y$ muni de la topologie induite de celle de $X$ ne sont plus les ouverts de $Y$ muni la topologie induite de celle de $Z$. Donc parler des "ouverts de $Y$ pour la topologie de $Y$ induite de celle de $X$" est ambigü. Ben oui, mais évidemment c'est parce qu'on ne munit pas $X$ de la même topologie dans les deux cas.

Maintenant, il faut comprendre que dans $\mathbb{R}$, l'intervalle $[3,7]$ est ouvert dans lui-même, au même titre que l'intervalle $]2,5[$ dans lui-même. En abrégé, si on munit $\mathbb{R}$ de sa distance et de sa topologie naturelle, $]2,5[$ est homéomorphe à $\mathbb{R}$ tandis que $[3,7]$ ne l'est pas, il le serait à la droite réelle achevée (en incluant $\mathbb{R}$ dans cette droite), et $\mathbb{R}$ et la droite réelle achevée ne le sont pas entre eux. Oui bon, rien ne dit que deux ouverts doivent être homéomorphes, je réfléchis tout haut.

Ok merci Poirot. Oui les intervalles ouverts de $\mathbb{R}$ sont une base des ouverts de $\mathbb{R}$. J'ai pris ces exemples pour faire simple.

Ah ok, j'ai supposé que l'homéomorphisme était un homéomorphisme de $E$. On ne peut donc rien dire d'immédiat.

Ah merci Poirot. C'est un homéomorphisme de $\{b \}$ sur $\{a \}$, avec $\{a \}$ un ouvert de $E$, et $\{b \}$ qui n'est pas un ouvert de $E$.