Réunion finie de parties compactes

Bonjour
J'essaie de montrer le résultat suivant.

Soit $(E,\mathcal{T})$ un espace compact. Toute réunion finie de sous-espaces compacts de $(E,\mathcal{T})$ est un sous-espace compact de $(E,\mathcal{T})$.

Démonstration.
Notation. On note $\mathcal{T}_{\cup_{k=1}^n F_k} $ la topologie induite par $\mathcal{T}$ sur $\displaystyle{\bigcup_{k=1}^n F_k}$.
Soit $n\in\mathbb{N}^{*}$ et $n$ sous-espaces compacts $F_1,\dots,F_n$ de $(E,\mathcal{T})$. Montrons que $\Big( \displaystyle{\bigcup_{k=1}^n F_k}, \mathcal{T}_{\bigcup_{k=1}^n F_k} \Big)$ est un espace compact c'est-à-dire un sous-espace compact de $(E,\mathcal{T})$.

Soit $I$ un ensemble et $(U_i)_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de $\displaystyle{\bigcup_{k=1}^n F_k}$ (pour la topologie $\mathcal{T}_{\bigcup_{k=1}^n F_k}$). Soit $k'\in [\![1,n]\!]$. On a
\begin{align*}
F_{k'} &\subset \bigcup_{k=1}^n F_k = \bigcup_{i\in I} U_i, &\text{donc} \\
F_{k'}& = \Big( \bigcup_{i\in I} U_i \Big) \bigcap F_{k'} = \bigcup_{i\in I} ( U_i \cap F_{k'})

\end{align*} La famille $( U_i \cap F_{k'})_{i\in I}$ est un recouvrement de $F_{k'}.\ $ L'ensemble $F_{k'}$ est un sous-espace compact de $(E,\mathcal{T})$ donc $(F_{k'},\mathcal{T}_{F_{k'}})$ est un espace compact. Par définition de la topologie induite, pour tout $i\in I$, $U_i \cap F_{k'}$ est un ouvert de $F_{k'}$ (pour la topologie $\mathcal{T}_{F_{k'}}$) donc $( U_i \cap F_{k'})_{i\in I}$ est un recouvrement ouvert de $F_{k'}.\ $ Il existe donc un sous-ensemble fini $J_{k'}$ de $I$ et un sous-recouvrement fini $( U_{j_{k'}} \cap F_{k'})_{j_{k'}\in J_{k'}}$ de $( U_i \cap F_{k'})_{i\in I}$\,. On a donc $F_{k'}=\displaystyle{\bigcup_{j_{k'} \in J_{k'}} ( U_{j_{k'}} \cap F_{k'})}$. On en déduit que
$$\bigcup_{i\in I} U_i=\bigcup_{k=1}^n F_k= \bigcup_{k=1}^n \Big( \bigcup_{j_{k} \in J_{k}} ( U_{j_{k} \cap F_{k}}) \Big).

$$ Je ne suis pas sûr de pouvoir conclure que la famille $\left( U_{j_{k}} \cap F_{k} \right)_{(k,j_k)\in [\![1,n]\!] \times J_k }$ est un sous-recouvrement fini de $(U_i)_{i\in I}.\ $ Est-ce que j'ai le droit d'écrire que
$${\bigcup_{k=1}^n \Big( {\bigcup_{j_{k} \in J_{k}} ( U_{j_{k}} \cap F_{k})} \Big)}= {\bigcup_{(k,j_k)\in [\![1,n]\!] \times J_k } (U_{j_{k}} \cap F_{k})}.


$$ Merci d'avance.