Réciproque au théorème de Baire
Bonjour
Je suis tombé sur l'exercice
Un espace normé tel que toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense est-il complet ?
Après avoir cherché vraiment longtemps je ne vois pas du tout. Ça n'est pas vrai dans le cadre des espaces métriques (]0,1[) par exemple, mais je ne parviens pas à trouver de contre-exemple avec un espace vectoriel, notamment puisqu'il faut chercher en dimension infinie (et malheureusement un sous espace strict ne peut pas être ouvert...).
Et quant à essayer de montrer que c'est vrai (après tout pourquoi pas ?), je me donne un espace que je suppose non complet, et donc une série absolument convergente qui ne converge pas, mais je ne parviens pas non plus à en faire quelque chose...
Merci d'avance.
Je suis tombé sur l'exercice
Un espace normé tel que toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense est-il complet ?
Après avoir cherché vraiment longtemps je ne vois pas du tout. Ça n'est pas vrai dans le cadre des espaces métriques (]0,1[) par exemple, mais je ne parviens pas à trouver de contre-exemple avec un espace vectoriel, notamment puisqu'il faut chercher en dimension infinie (et malheureusement un sous espace strict ne peut pas être ouvert...).
Et quant à essayer de montrer que c'est vrai (après tout pourquoi pas ?), je me donne un espace que je suppose non complet, et donc une série absolument convergente qui ne converge pas, mais je ne parviens pas non plus à en faire quelque chose...
Merci d'avance.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
EDIT : j'étais pressé :-D
De toute façon il me semble qu'un espace vectoriel normé est toujours sur le corps $\Bbb R$ ou $\Bbb C$.
Je la trouve intéressante.
J'appelle th de Baire l'énoncé : si X est soit métrique complet, soit localement compact, alors blablabla".
Un contre-exemple simple à la réciproque est $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$. Il n'est ni localement compact ni métrique complet (il s'en faut de beaucoup), cependant il vérifie Baire puisqu'il est homéomorphe à $\omega^{\omega}$ via les fractions continues.
Il me semble que la bonne notion ici est celle d'espace polonais.
Cependant la question de Christophe, qui est beaucoup plus précise (et sans ambiguïté) est très intéressante.
Y voici ma réponse : j'en sais foutre rien !
Comme disait Coluche : "je ne suis ni pour ni contre, bien au contraire !".
@Calli: l'application ouverte se sert des DEUX: Baire pour avoir "un gros fermé" et complétude pour qu'en plus il fournisse une bonne grosse tranche d'ouvert in fine.
Il semblerait que la réponse soit non : la réciproque du th. de Baire est fausse pour les evn de dimension infinie.
Voir ce message sur un forum où un certain SébastienM posait exactement cette question.
Il dit que dans le bouquin Barrelled Locally Convex Spaces de Pérez il y a un exo qui demande de montrer que dans tout evn infini de Baire, il y a un sous-espace strict dense de Baire. Ceci règle la question.
Je n'ai pas ce bouquin...
Ce supplémentaire, je pense qu'il est de Baire. Mais après c'est "du taf un peu ingrat" je pense de le vérifier.
Ce n'est pas un exo en fait mais bien une proposition. Si quelqu'un le désire je peux mettre des captures d'écran.
Si les $W_n$ sont des ouverts denses (on s'est donné un vecteur $a$ non nul et l'espace $S$ supplémentaire de $a$ de sorte que tout vecteur s'écrit de manière unique sous la forme $s + ka$ avec $(s,k)\in S\times \R$ ) , on part d'une boule bien éloignée (entre guillemets, ie dont la compsante en $a$ du centre est petite par rapport à l'autre) de $\R .a$, puis on pick méchamment et progressivement des $x_n$ dans les $W_n$ en écrivant de plus en plus la composante en $a$ de sorte qu'à la limite, ça donne un élément de $S\cap [\cap (n\mapsto W_n)]$.
Mais ça me prendrait trop de temps de rédiger (or si on ne rédige pas, on ne peut être sûr à 99.9% d'absence d'obstruction. Mais je n'en vois pas)
"only finitely many can be exception"
C'est sûr que si on tombe dans le piège de prendre "n'importe quel $H_i$" et d'essayer de prouver qu'il marche on galère. Comme quoi, il y a parfois des pièges qu'on se tend à soi-même :-D
Comme l'heure de la sieste, je te le découpe en tranches si tu veux.
1.1/ Baire normalement, ça veut dire qu'une intersection d'une suite d'ouverts dense est dense.
1.2/ Ou autre façon de le dire, toute réunion d'une suite de fermés d'intérieur vide est d'intérieur vide.
2/ Mais, prouve déjà que dans un espace vectoriel topologique, il revient au même de dire le truc plus faible: "toute intersection d'une suite d'ouverts denses est non vide". Pour ça pense que les ouverts "sont absorbants" (affinement parlant). Ecris la version duale avec les fermés
3/ Soit $e$ une base algébrique de ton espace. Je pense que tu peux être considéré comme trouvant évident que pour tout $x\in E: $ l'ensemble des $i$ tel que le $i$ ième coefficient de l'écriture de $x$ dans la base $e$ est non nul est fini?
4/ Ce qui fait que si tu notes, pour chaque $i$,
$H_i:=\{x\mid$ le $i$ ième coefficient de l'écriture de $x$ dans la base $e$ est nul $\}$,
5/ On peut supposer que l'ensemble qui indice la base contient $\N$.
6/ Suppose qu'aucun $H_n$ n'est de Baire et pour chacun, tu prends une suite de fermés $p\mapsto F(n,p)$ qui en atteste quand la suite $p\mapsto F(n,p)\cap H_n$ est regardée par les habitants de $H_n$ (topologie induite).
7/ Montre qu'il n'y a pas de "toupet" à supposer qu'en plus, pour tout $n,p: \emptyset = int(F(n,p))$
8/ En remarquant que $(n,p)\mapsto F(n,p))$ est une famille dénombrable de fermés d'intérieur vide, tu peux conclure.