Caractère lipschitzien de la distance
Bonjour,
J'ai des petites questions suite à une lecture (MP -Tout en un - Dunod)
Soit $(E, ||.||)$ un espace vectoriel normé.
- La norme produit sur $E^2$, sans précision, désigne-t-elle bien $N(x,y)=\max(||x||,||y||)$ ?
- Si on considère $f : E^2 \to \R, (x,y)\mapsto ||x-y||$, cette application est-elle 1-lipschitzienne ?
Mes deux questions vont de pair : pour la "norme produit" ci-dessus, je n'ai su montrer qu'une 2-lip...
Mais j'ai bien une 1-lip pour la norme "somme" : N(x,y) = ||x||+||y||...
Merci !
J'ai des petites questions suite à une lecture (MP -Tout en un - Dunod)
Soit $(E, ||.||)$ un espace vectoriel normé.
- La norme produit sur $E^2$, sans précision, désigne-t-elle bien $N(x,y)=\max(||x||,||y||)$ ?
- Si on considère $f : E^2 \to \R, (x,y)\mapsto ||x-y||$, cette application est-elle 1-lipschitzienne ?
Mes deux questions vont de pair : pour la "norme produit" ci-dessus, je n'ai su montrer qu'une 2-lip...
Mais j'ai bien une 1-lip pour la norme "somme" : N(x,y) = ||x||+||y||...
Merci !
Réponses
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Oui pour la norme produit. Elle est évidemment équivalente à la "norme somme", donc ça n'a pas aucune importance pour les questions de convergence.
Pour ta seconde question, on a par inégalité triangulaire inverse $|f(x_1, y_1) - f(x_2, y_2)| \leq ||(x_1-x_2, y_1 - y_2)||$. -
Bonjour,
1/ Oui. Comme ça les boules de $E^2$ sont des produits de boules de $E$ et c'est pratique.
2/ Non. Elle est 2-lipschitizienne et pas mieux. Pour en être sûr, il suffit de trouver $x,y,x',y'$ tels que $|\|x-y\|-\|x'-y'\||=2\max(\|x-x\|,\|y-y'\|)$. -
C'est fou ça, personne ne répond pendant 38 minutes et là que je réponds, Poirot poste une réponse juste avant ! Tu l'as fait exprès, hein avoue, c'est juste pour m'embêter ? (:P)
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Par contre, pas d'accord avec ton $|f(x_1, y_1) - f(x_2, y_2)| \leq ||(x_1-x_2, y_1 - y_2)||$ Poirot.
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Oui j'ai réussi à m'embrouiller avec les notations, le membre de droite devrait être $||x_1-y_1-x_2+y_2||$ par exemple, ce qui ne permet pas de conclure.
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Merci à tous les deux,
je me disais "ça doit être vrai, puisque c'est marqué dans le livre".
J'ai essayé de dessiner, pour le cas d'égalité avec le rapport 2... sans succès, mais j'y ai passé très peu de temps. -
"""1/ Oui. Comme ça les boules de E2 sont des produits de boules de E et c'est pratique"""
Ah oui, les produits cartésiens !
$$B((x,y),a) = B(x,a)\times B(y,a)$$
Et ça marche plus généralement pour $E\times F$ (et pas seulement $E^2$) !
Et aussi pour des produits cartésiens de plus de deux evn.
Chouette, ça éclaircit bien le choix de cette norme (et son nom : norme produit) !
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Bonjour!
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