Un fermé non complet

Profmaths19 · January 2021

Bonsoir
Je cherche un exemple d'un ensemble, muni à minima d'une topologie, qui soit fermé (dans lui-même ou dans un espace topologique plus grand) mais qui ne soit pas complet.

À chaque fois que je réfléchis, je construis une suite de Cauchy qui converge hors de l'ensemble, ce qui assure la non complétude, mais fait perdre dans le même coup la fermeture (en l'occurrence, j'avais pensé à la série alternée de terme général $\dfrac{(-1)^{n}}{n(n+1)}$ dans l'espace $(\mathbb{Q},|.|)$, ou bien à l'espace des fonctions continues sur un segment de $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ avec une suite de fonctions qui soient nulles au début puis affines pour rejoindre 1, de sorte que l'aire du triangle sous la $n$-ième fonction vaille $\frac{1}{n}$).

Je n'arrive pas à trouver une suite de Cauchy qui ne converge pas tout court.

Ingrid1970 · January 2021

Bonjour,

Sauf erreur de mémoire :

Critère de Cauchy — Une suite de nombres réels converge dans IR si et seulement si c'est une suite de Cauchy.

Tu cherches des suites de Cauchy qui ne convergent pas ?

Bien à toi.

Poirot · January 2021

Tout d'abord, un espace topologique est toujours fermé dans lui-même (le vide est ouvert).

Il me semble que ta question est simplement celle de l'existence d'une suite de Cauchy dans un espace métrique (ça n'a pas de sens en général dans un espace topologique) qui ne converge pas dans cet espace.

Tu as pris un bon candidat avec $(\mathbb Q, | \cdot |)$ puisqu'il n'est pas complet comme tu le sais EDIT : devrais le savoir (et comme dit ci-dessus il est évidemment fermé dans lui-même). On sait donc qu'il existe une (en fait des) suite de Cauchy de cet espace qui ne converge pas. On peut en trouver une pelletée : soit $x$ ton irrationnel favori (par exemple $\sqrt 2, \mathrm e, \pi$ ou $e^{\pi}$). La suite $\bigl(\frac{\lfloor n x \rfloor}{n}\bigr)_{n \in \mathbb N^*}$ est évidemment une suite de rationnels, et tu peux te convaincre qu'il s'agit d'une suite de Cauchy puisque, en tant que suite de nombres réels, elle converge. Cependant elle ne converge pas dans l'espace $(\mathbb Q, |\cdot|)$ car sinon, par unicité de la limite dans $\mathbb R$, on aurait $x \in \mathbb Q$.

Bon je ne suis pas certain que cet exemple te convainque, mais il est en fait parfaitement général. Si $(X, d)$ est un espace métrique complet, alors une partie $A$ de $X$ est fermée pour $d$ si et seulement si $(A, d)$ est complet. De plus, tout espace métrique se plonge (et même de manière dense) dans un espace métrique complet. Donc une suite de Cauchy ne convergeant pas dans un espace métrique, on peut toujours le voir comme un problème de fermeture de cet espace dans un espace plus gros où cette suite converge.

christophe c · January 2021

Je n'arrive pas à trouver une suite de Cauchy qui ne converge pas tout court.

Une suite de Cauchy converge forcément dans le complété de ton espace, et tout espace métrique a un complété.

Au cas où cette réponse ne te convient pas, dis-toi qu'une suite, même pas forcément de Cauchy converge toujours vers l'image d'elle-même par la projection qui rend équivalente deux suites $u,v$ telles que $\exists (k,p) \in \N^2 \forall n\in \N: u(n+k)=v(n+p)$.

de sorte que tu pourras évacuer ta colère avec un os vraiment rongeable et nutritif.

En gros, en maths, on peut toujours créer un peu toutes les limites qu'on veut "à l'extérieur" de l'espace où on travaille.

Et pour en revenir aux Cauchy, en plus, elles ont VRAIMENT une grosse vocation à converger de toute façon.

Poirot · January 2021

@CC : tu n'as pas lu ma réponse ?

christophe c · January 2021

En fait, c'est sa dernière phrase, assez spectaculaire, à laquelle j'ai réagi, je me doutais que tu avais détaillé les autres aspects

Poirot · January 2021

Eh bien si tu avais lu ma dernière phrase tu aurais vu que j'avais déjà abordé cet aspect-là aussi.

christophe c · January 2021

Maintenant, j'ai lu, voici ta dernière phrase:

Poirot a écrit:

Donc une suite de Cauchy ne convergeant pas dans un espace métrique, on peut toujours le voir comme un problème de fermeture de cet espace dans un espace plus gros où cette suite converge.

mais est-ce que tu me faisais un reproche? Parce que mon post n'était pas du tout une "correction de ce qui précède" en tout cas, il n'y avait aucune sous-entendu. Comme ça, ça lui fait une insistance... ;-)

Poirot · January 2021

Ça donne l'impression (vérifiée du coup) que tu n'avais pas vu que j'avais déjà dit ce que tu as dit dans ton message. Ce n'est pas grave, mais ce n'est pas agréable de constater que l'on est ignoré !

christophe c · January 2021

Mon but n'était vraiment pas d'être désagréable. In some sense, d'ailleurs, je trouverais que lire de manière détaillée ce que dit un expert (enfin le faire dans tous les fils, y compris un comme ici qui est trivial) pourrait presque être assimilé à du voyeurisme d'une certaine façon, non?

Souvent, sur les fils courts, je lis le début et "fais un pari" sur la suite, un peu comme le débutant qui a posé la question ferait et si j'ai répéré une phrase dont je soupçonne qu'elle n'a peut-être pas été vue, je ne réponds qu'à cette phrase pour essayer que ça propose un post-focalisé dessus.

Bon évidemment, ça, ce sont les grands principes, je ne rélféchis pas tant que ça, j'essaie de décrire a posteriori de façon sincère. Et bin toutes mes excuses pour ce désagrément en tout cas ;-)

Profmaths19 · February 2021

Merci pour vos réponses. Je comprends qu'un sous-ensemble d'un espace complet est fermé ssi il est complet. Je comprends qu'on puisse compléter tout espace pour le rendre complet, et donc que le problème que je me pose n'a alors plus lieu de se poser. Mais justement, si l'on décide de ne pas compléter un espace non complet, que l'on conserve ce "handicap", et qu'on cherche à étudier les sous-ensembles de cet espace "blessé" qui sont fermés dans cet espace, on n'en trouvera jamais un qui soit non complet ?

Une suite convergente est de Cauchy.
Pour la réciproque : j'ai déjà montré que l'existence d'une valeur d'adhérence suffit à faire converger une suite de Cauchy. C'est en utilisant cela que j'avais démontré en cours le critère de Cauchy dans $\mathbb{R}$. Peut-on montrer que le critère vaut de manière générale ? Autrement dit : peut-on montrer qu'une suite de Cauchy converge sans partir de l'existence d'une valeur d'adhérence ? Je sais que l'existence d'une valeur d'adhérence ne pose pas de problème tant qu'on est en dimension finie (grâce au théorème de Bolzano-Weierstrass qui s'applique car une suite de Cauchy est toujours bornée), ou tant qu'on est dans un compact (par définition ou caractérisation séquentielle) . Mais ailleurs, comment faire ?

Dom · February 2021

L’ensemble tout entier est par définition fermé dans lui-même.
On en trouve donc un qui est fermé et non complet.

Je n’ai pas compris la deuxième question.

Poirot · February 2021

Tu devrais poser des questions précises, parce que là c'est très confus. Ça veut dire quoi "ailleurs" ? Dans $\mathbb R$, les suites de Cauchy convergent, c'est une propriété que l'on appelle la complétude. Dans d'autres espaces ça pourra être vrai, ou ça pourra être faux, ça dépendra de cet espace.

Pour ta première question, Dom a répondu : si tu prends un espace métrique non complet, il est évidemment fermé dans lui-même mais non complet.

Profmaths19 · February 2021

D'accord, mais à part l'ensemble non complet lui-même, qui est fermé dans lui-même, existerait-il un autre sous-ensemble moins trivial qui soit fermé dans l'ensemble non complet ?

"Ailleurs" signifie ici dans un espace qui ne soit ni de dimension finie ni compact. Dans un tel espace, les suites de Cauchy convergent-elles nécessairement ?

Poirot · February 2021

Il y a en général beaucoup de fermés dans les espaces topologiques/métriques usuels. Je ne comprends pas ce que tu cherches précisément. Les seuls règles à connaître, c'est qu'une partie complète d'un espace métrique est fermée (presque par définition), et que, dans un espace complet, la réciproque est vraie, c'est-à-dire qu'une partie est fermée si et seulement si elle est complète. Si l'espace ambiant n'est pas complet, il y a des parties fermées qui ne sont pas complètes, l'espace tout entier lui-même, mais aussi l'adhérence de l'ensemble image d'une suite de Cauchy non convergente par exemple, etc.

Si tu veux un exemple explicite : $\mathbb R[X]$, muni de la norme uniforme sur $[0, 1]$ par exemple, est de dimension infinie, n'est ni compact ni complet. La partie stricte $\{P \in \mathbb R[X] \mid P(0)=0\}$ est fermée mais non complète.

Profmaths19 · February 2021

Merci pour cet exemple ; c'est, je pense, exactement ce que je cherchais. $|P(0)| $ est toujours plus petit que le sup de $|P(x)|$ sur $[0,1]$, donc l'évaluation en 0 est continue (la constante de continuité apparaît clairement et vaut 1), et donc, comme image réciproque du fermé $\{0\}$, la partie $\{P \in \mathbb{R}[X] / P(0) = 0 \}$ est fermé. Pour la non complétude : la suite $\sum_{k=1}^{n} \frac{X^{k}}{k!}$ pour $n \geqslant 1$ converge, donc est de Cauchy, mais elle ne converge pas dans $\{P \in \mathbb{R}[X] / P(0) = 0 \}$ puisque sa limite vaut $\exp(x) - 1$. Donc la partie n'est pas complète.

Cela donne en même temps un exemple explicite d'espace ($(\mathbb{R}[X], || . ||_{\infty})$) où les suites de Cauchy ne sont pas forcément convergentes, ce qui veut dire qu'en dimension infinie, dans un espace non complet, la propriété de complétude n'est pas nécessairement vérifiée (ça paraît évident quand on l'écrit, je suis d'accord.). En fait, ma deuxième question aurait peut-être dû se formuler ainsi : la qualité de "complet" est-elle la condition suffisante la plus générale qui existe pour assurer la propriété de complétude ? La terminologie laisse penser que oui.

Pour l'exemple avec l'adhérence de l'ensemble image d'une suite de Cauchy divergente, j'aurais dû y penser, c'est aussi un exemple qui convient à ma question. La propriété de divergence a son importance, pas vrai ? Si l'on considère une suite de Cauchy convergente en dehors de l'espace non complet, l'adhérence de son ensemble image dépasse l'ensemble non complet, puisqu'il inclut la limite qui n'appartient pas à l'espace, mais par le même coup, ce gain d'un élément rend cette adhérence complète.

Un fermé non complet

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