Un fermé non complet
dans Topologie
Bonsoir
Je cherche un exemple d'un ensemble, muni à minima d'une topologie, qui soit fermé (dans lui-même ou dans un espace topologique plus grand) mais qui ne soit pas complet.
À chaque fois que je réfléchis, je construis une suite de Cauchy qui converge hors de l'ensemble, ce qui assure la non complétude, mais fait perdre dans le même coup la fermeture (en l'occurrence, j'avais pensé à la série alternée de terme général $\dfrac{(-1)^{n}}{n(n+1)}$ dans l'espace $(\mathbb{Q},|.|)$, ou bien à l'espace des fonctions continues sur un segment de $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ avec une suite de fonctions qui soient nulles au début puis affines pour rejoindre 1, de sorte que l'aire du triangle sous la $n$-ième fonction vaille $\frac{1}{n}$).
Je n'arrive pas à trouver une suite de Cauchy qui ne converge pas tout court.
Je cherche un exemple d'un ensemble, muni à minima d'une topologie, qui soit fermé (dans lui-même ou dans un espace topologique plus grand) mais qui ne soit pas complet.
À chaque fois que je réfléchis, je construis une suite de Cauchy qui converge hors de l'ensemble, ce qui assure la non complétude, mais fait perdre dans le même coup la fermeture (en l'occurrence, j'avais pensé à la série alternée de terme général $\dfrac{(-1)^{n}}{n(n+1)}$ dans l'espace $(\mathbb{Q},|.|)$, ou bien à l'espace des fonctions continues sur un segment de $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ avec une suite de fonctions qui soient nulles au début puis affines pour rejoindre 1, de sorte que l'aire du triangle sous la $n$-ième fonction vaille $\frac{1}{n}$).
Je n'arrive pas à trouver une suite de Cauchy qui ne converge pas tout court.
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Réponses
Sauf erreur de mémoire :
Critère de Cauchy — Une suite de nombres réels converge dans IR si et seulement si c'est une suite de Cauchy.
Tu cherches des suites de Cauchy qui ne convergent pas ?
Bien à toi.
Il me semble que ta question est simplement celle de l'existence d'une suite de Cauchy dans un espace métrique (ça n'a pas de sens en général dans un espace topologique) qui ne converge pas dans cet espace.
Tu as pris un bon candidat avec $(\mathbb Q, | \cdot |)$ puisqu'il n'est pas complet comme tu le sais EDIT : devrais le savoir (et comme dit ci-dessus il est évidemment fermé dans lui-même). On sait donc qu'il existe une (en fait des) suite de Cauchy de cet espace qui ne converge pas. On peut en trouver une pelletée : soit $x$ ton irrationnel favori (par exemple $\sqrt 2, \mathrm e, \pi$ ou $e^{\pi}$). La suite $\bigl(\frac{\lfloor n x \rfloor}{n}\bigr)_{n \in \mathbb N^*}$ est évidemment une suite de rationnels, et tu peux te convaincre qu'il s'agit d'une suite de Cauchy puisque, en tant que suite de nombres réels, elle converge. Cependant elle ne converge pas dans l'espace $(\mathbb Q, |\cdot|)$ car sinon, par unicité de la limite dans $\mathbb R$, on aurait $x \in \mathbb Q$.
Bon je ne suis pas certain que cet exemple te convainque, mais il est en fait parfaitement général. Si $(X, d)$ est un espace métrique complet, alors une partie $A$ de $X$ est fermée pour $d$ si et seulement si $(A, d)$ est complet. De plus, tout espace métrique se plonge (et même de manière dense) dans un espace métrique complet. Donc une suite de Cauchy ne convergeant pas dans un espace métrique, on peut toujours le voir comme un problème de fermeture de cet espace dans un espace plus gros où cette suite converge.
Une suite de Cauchy converge forcément dans le complété de ton espace, et tout espace métrique a un complété.
Au cas où cette réponse ne te convient pas, dis-toi qu'une suite, même pas forcément de Cauchy converge toujours vers l'image d'elle-même par la projection qui rend équivalente deux suites $u,v$ telles que $\exists (k,p) \in \N^2 \forall n\in \N: u(n+k)=v(n+p)$.
de sorte que tu pourras évacuer ta colère avec un os vraiment rongeable et nutritif.
En gros, en maths, on peut toujours créer un peu toutes les limites qu'on veut "à l'extérieur" de l'espace où on travaille.
Et pour en revenir aux Cauchy, en plus, elles ont VRAIMENT une grosse vocation à converger de toute façon.
mais est-ce que tu me faisais un reproche? Parce que mon post n'était pas du tout une "correction de ce qui précède" en tout cas, il n'y avait aucune sous-entendu. Comme ça, ça lui fait une insistance... ;-)
Souvent, sur les fils courts, je lis le début et "fais un pari" sur la suite, un peu comme le débutant qui a posé la question ferait et si j'ai répéré une phrase dont je soupçonne qu'elle n'a peut-être pas été vue, je ne réponds qu'à cette phrase pour essayer que ça propose un post-focalisé dessus.
Bon évidemment, ça, ce sont les grands principes, je ne rélféchis pas tant que ça, j'essaie de décrire a posteriori de façon sincère. Et bin toutes mes excuses pour ce désagrément en tout cas ;-)
Une suite convergente est de Cauchy.
Pour la réciproque : j'ai déjà montré que l'existence d'une valeur d'adhérence suffit à faire converger une suite de Cauchy. C'est en utilisant cela que j'avais démontré en cours le critère de Cauchy dans $\mathbb{R}$. Peut-on montrer que le critère vaut de manière générale ? Autrement dit : peut-on montrer qu'une suite de Cauchy converge sans partir de l'existence d'une valeur d'adhérence ? Je sais que l'existence d'une valeur d'adhérence ne pose pas de problème tant qu'on est en dimension finie (grâce au théorème de Bolzano-Weierstrass qui s'applique car une suite de Cauchy est toujours bornée), ou tant qu'on est dans un compact (par définition ou caractérisation séquentielle) . Mais ailleurs, comment faire ?
On en trouve donc un qui est fermé et non complet.
Je n’ai pas compris la deuxième question.
Pour ta première question, Dom a répondu : si tu prends un espace métrique non complet, il est évidemment fermé dans lui-même mais non complet.
"Ailleurs" signifie ici dans un espace qui ne soit ni de dimension finie ni compact. Dans un tel espace, les suites de Cauchy convergent-elles nécessairement ?
Si tu veux un exemple explicite : $\mathbb R[X]$, muni de la norme uniforme sur $[0, 1]$ par exemple, est de dimension infinie, n'est ni compact ni complet. La partie stricte $\{P \in \mathbb R[X] \mid P(0)=0\}$ est fermée mais non complète.
Cela donne en même temps un exemple explicite d'espace ($(\mathbb{R}[X], || . ||_{\infty})$) où les suites de Cauchy ne sont pas forcément convergentes, ce qui veut dire qu'en dimension infinie, dans un espace non complet, la propriété de complétude n'est pas nécessairement vérifiée (ça paraît évident quand on l'écrit, je suis d'accord.). En fait, ma deuxième question aurait peut-être dû se formuler ainsi : la qualité de "complet" est-elle la condition suffisante la plus générale qui existe pour assurer la propriété de complétude ? La terminologie laisse penser que oui.
Pour l'exemple avec l'adhérence de l'ensemble image d'une suite de Cauchy divergente, j'aurais dû y penser, c'est aussi un exemple qui convient à ma question. La propriété de divergence a son importance, pas vrai ? Si l'on considère une suite de Cauchy convergente en dehors de l'espace non complet, l'adhérence de son ensemble image dépasse l'ensemble non complet, puisqu'il inclut la limite qui n'appartient pas à l'espace, mais par le même coup, ce gain d'un élément rend cette adhérence complète.