Connexe, contractile

Julia Paule
Julia Paule
dans Topologie
Bonjour,

Je démarre en topologie, et j'essaie de confronter différentes notions qui me semblent liées, en particulier les notions d'espace connexe et d'espace contractile. Pouvez-vous me dire si les affirmations suivantes sont exactes (pour savoir si je ne me suis pas trompée dans les démonstrations) :

Soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques.

1) Si $Y$ n'est pas connexe par arcs, alors il existe deux applications continues de $X \rightarrow Y$ qui ne sont pas homotopes

2) Mais la réciproque est fausse : $Y$ connexe par arcs n'implique pas que deux applications continues de $X \rightarrow Y$ sont toujours homotopes

3) Si $Y$ est connexe par arcs, deux applications constantes de $X \rightarrow Y$ sont toujours homotopes

4) $X$ connexe par arcs n'implique pas $X$ contractile

5) $X$ contractile => $X$ connexe par arcs

6) si $X$ est contractile, alors $Id_X$ est homotope à une application constante, à valeur n'importe quel point de $X$.

Merci d'avance.

Réponses

  • NoName
    NoName
    Pour la 1), il faut rajouter $X$ non vide. Sinon oui, pour le reste c'est correct.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    On ne pourra pas te dire si tu t'es trompée ou pas dans les démonstrations :-D
    Tous les énoncés sont corrects, cependant.

    D'ailleurs je suis curieux de savoir comment tu as prouvé 4), il me semble que c'est pas évident a priori de prouver qu'un espace n'est pas contractile à ce niveau là (pas "ton niveau", quoi que ça veuille dire, mais le niveau où on compare connexité et contractibilité)

    EDIT : je viens de voir le message de NoName. Pour 1) ça dépend effectivement de ta définition de connexité par arcs, savoir si elle inclut "non vide" ou pas.
    Comme pour "connexe", la "bonne convention" est d'avoir "connexe => non vide", et qu'il est raisonnable de désirer "connexe par arcs => connexe", il est raisonnable d'introduire cette condition. Mais ça va dépendre des goûts
  • NoName
    NoName
    C'est pas tellement le sens de ma remarque, je parle bien de $X$, pas de $Y$, etant donné qu'il y n'y a aucun contrainte sur $X$, que $Y$ soit connexe par arcs ou pas, si $X$ est vide toutes ( :-D ) les applications de $X$ dans $Y$ sont homotopes. Bon, c'est du mégotage.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    NoName : oooh pardon j'avais mal lu !! Tu as bien entendu tout à fait raison.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Ok, merci à vous deux. J'ai supposé bien sûr $X$ et $Y$ non vides, j'ai du mal à me représenter ce que peut être une application partant d'un ensemble vide ou à image dans un ensemble vide. C'est de la théorie des ensembles, que j'irai voir quand j'aurai le temps.

    Pour la 4), je n'ai rien démontré ! Juste un contre-exemple : $D^2 \setminus \{0\}$ est connexe par arcs, mais pas contractile, pour la topologie induite de la topologie usuelle de $\mathbb{R}^2$. Le même contre-exemple marche pour la 2).

    En fait, je viens de voir que si un espace est connexe par arcs, le point de base n'a pas d'importance, en particulier pour le groupe fondamental, mais aussi pour le point de l'espace où il est contractile, puisqu'il existe un chemin entre tous les points.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Par contre, si $Y$ est contractile, deux applications continues de $X \rightarrow Y$ sont toujours homotopes ?

    Donc on aurait : $Y$ contractile => deux applications continues de $X \rightarrow Y$ sont toujours homotopes => $Y$ connexe par arcs,

    et une équivalence : $Y$ contractile <=> deux applications continues de $X \rightarrow Y$ sont toujours homotopes ?
  • NoName
    NoName
    Oui, puisque post composer par l'identité revient à homotopie près à post composer par l'application sur le point (enfin $Y\to \{\star\}\to Y$ quoi), comme la post composition est compatible avec la relation d'homotopie les deux applications de départ sont homotopes.

    Pour ta derniere equivalence, ca depend de comment tu place le quantificateur sur $X$.
    Evidemment il existe des $X$ tel que $[X, Y]$ (les classes d'homotopies d'applications de $X$ dans $Y$) soit réduit à un élément et $Y$ non contractile. Mais si c'est pour tout $X$ alors oui.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Ok, merci beaucoup. Oui c'était facile pour la 1ère question, je n'aurais pas dû la poser.

    Encore une autre (que je n'ai pas vérifiée, mais qui me semble vraie intuitivement) : si $X$ et $Y$ ont le même type d'homotopie, alors $X$ connexe par arcs => $Y$ connexe par arcs.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Pour $Y$ contractile <=> deux applications continues de $X \rightarrow Y$ sont toujours homotopes, j'avais supposé implicitement avec $X$ quelconque, en prenant $X=Y$, $Id_Y$ et une application constante dans $Y$.
  • NoName
    NoName
    Oui, évidement, si tu supposes $X$ connexe par arc, et $f:X\to Y$ et $g: Y\to X$ deux inverses à homotopie prés, et $y_1, y_2\in Y$ alors la connexité par arcs de $X$ donne l'existence d'un chemin reliant $f(g(y_1))$ à $f(g(y_2))$ puis l'homotopie de $f\circ g$ sur $1_Y$ te donne un chemin qui relie $y_1$ (resp. $y_2$) à $f(g(y_1))$ (resp. $f(g(y_2))$). La concaténation de ces trois chemins donne le résultat.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Ok merci. J'étais en train d'essayer de le démontrer en passant par les groupes fondamentaux :

    $X$ et $Y$ ont même type d'homotopie => il existe un isomorphisme entre leurs groupes fondamentaux => si l'un est connexe par arcs, l'autre aussi (je ne sais pas si c'est vrai).

    Je vais lire ta réponse.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    En fait à la base, j'essaie de montrer que $S^n$ sphère unité de $\mathbb{R}^{n+1}$, est connexe par arcs, ce qui parait plus qu'évident.
  • NoName
    NoName
    Heu non, puisque le groupe fondamental ne voit que la composante connexe par arcs du point base.
    Par exemple, $\mathbb{R}$ et la réunion disjointe de deux copies de $\mathbb{R}$ ont le meme groupe fondamental (où que tu choisisses le point base), mais le second n'est pas connexe (par arcs).
    Ce serait différent si on parlait de groupoïde fondamental.

    Pour la sphère, tu peux relier tout le monde au pole nord, en te baladant le long d'un méridien.
    Ou dire que c'est la réunion de deux $\mathbb{R}^n$ s'intersectant non vide-ment.

    Attention, $\mathbb{S}^0$ n'est pas connexe. :-D
  • Maxtimax
    Maxtimax
    La sphère a le type d'homotopie de $\mathbb R^{n+1}\setminus\{0\}$, donc tu peux te ramener à ça; et c'est plus simple
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Ok merci pour ta démonstration de : $X$ et $Y$ ont même type d'homotopie => [ $X$ connexe par arcs => $Y$ connexe par arcs ]. C'était assez évident effectivement.

    Pour passer par le groupe fondamental, on est coincés par le fait que l'isomorphisme entre les groupes fondamentaux n'induit pas une bijection entre les espaces topologiques, et oui car l'isomorphisme se rapporte à un point base.

    Pour $S^n$, j'ai donc ma réponse : il a le même type d'homotopie que $\mathbb{R}^{n+1} \setminus \{0 \}$ et $\mathbb{R}^{n+1} \setminus \{0 \}$ est visiblement connexe par arcs (si le chemin en ligne droite passe par 0, on le contourne), sauf pour $n=0$ :-D (pour la topologie induite)

    Pour $S^0= \{-1,1\}$ muni de la topologie induite de la topologie de $\mathbb{R}$, cela revient à considérer la topologie discrète sur $S^0$, ok il faut couper $[0,1]$ quelque part, donc il n'existe pas de chemin continu entre -1 et 1.

    Ok, pas vu le message de Maxtimax, merci.
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