Tore de dimension n

Quel lien entre $I=[0,1]$ après recollement de $0$ et $1$ et $\R/\Z$ ? C'est que $[0,1]$ est un domaine fondamental de l'action de $\Z$ sur $\R$ par translations, c'est-à-dire que dans l'orbite de tout réel $x$, i.e. dans $x+\Z=\{x+k,\ k\in\Z\}$, il y a un point de $I$ (c'est $x-\lfloor x\rfloor$) et ce point est unique à part sur le bord de $I$, c'est-à-dire que $0$ et $1$ sont dans la même orbite. Cela signifie que l'application $I\to\R/\Z$, restriction de l'application naturelle $\R\to\R/\Z$, est presque bijective : c'est une bijection sur $\left]0,1\right[$ (i.e. sa restriction à $\left]0,1\right[$ est bijective) et $0$ et $1$ ont la même image.

En dimension $2$, c'est pareil. Le carré $[0,1]\times[0,1]$ est un domaine fondamental de l'action de $\Z^2$ sur $\R^2$. Les seules orbites représentées par deux points du carré sont celles de $(x,0)$ et $(x,1)$ d'une part ($x\in[0,1]$) et celles de $(0,y)$ et $(1,y)$ ($y\in[0,1]$) d'autre part. D'où l'idée de partir d'un carré, recoller le bord droit et le bord gauche (i.e. $(0,y)$ et $(1,y)$ pour tout $y$) pour aboutir au cylindre de NoName, puis recoller le bord supérieur et le bord inférieur pour aboutir à un tore.

Ah non, pardon : $(\sqrt{2},3)-((\sqrt{2},4)) = (0,-1)$. Je me suis trompé, on a bien collé beaucoup de choses entre elles.