Relevé d'un lacet

Tu n'as pas répondu à la deuxième question de NoName, qui te demande ta définition de degré.

En gros si tu as un lacet $I\to \mathbb R$, tu peux le voir comme une application continue $S^1\to \mathbb R$ (puisque $S^1\cong I/\{0=1\}$)

Donc si tu as un tel lacet, la composition $S^1\to \mathbb R\to S^1$ est homotopiquement triviale ($\mathbb R$ est contractile), donc peut difficilement avoir un degré $1$. Après, à nouveau, ça dépend de ta définition de degré

Tu peux aussi utiliser ce bon vieux théorème des valeurs adjacentes.

Bah un lacet dans $S^1$ c'est une application $S^1\to S^1$ donc tu sais dire ce qu'est son degré :-D

Un lacet c'est une application de $I$ dans ton espace (ici le cercle) qui verifie $\alpha(0)=\alpha(1)$ autrement dit une application de $\mathbb{S}^1=I/\{0,1\}$ dans ton espace (ici le cercle).

On n'a pas simplement une bijection, on a un isomorphisme (topologique, un homéomorphisme quoi). De sorte que tu peux identifier $I/\{0,1\}$ et $\mathbb{S}^1$ et plus généralement $\mathbb{B}^n/\partial \mathbb{B}^n $ à $\mathbb{S}^n$.

Pour la définition du degré, y en a une bonne douzaine (au moins) je pense en fonction du contexte.
En général la définition fonctionne un peu toujours de la même façon, on a un invariant algébrique associé à un espace, et il se fait que pour certains espaces c'est $\mathbb{Z}$ et donc l'action d'un morphisme sur cet espace donne un morphisme de groupe de $\mathbb{Z}$ qui est donc la multiplication par un certain entier qu'on appelle le degré.

Ici par exemple c'est ce que tu peux faire, le $\pi_1(\mathbb{S}^1)$ (j'omet les points bases, tu peux pointer où tu veux) c'est $\mathbb{Z}$, donc comme tout morphisme (application continue) de $f:\mathbb{S}^1\to \mathbb{S}^1$ te donne un morphisme de groupe $f_\star: \pi_1(\mathbb{S}^1)\to \pi_1(\mathbb{S}^1)$ c'est la multiplication par un certain entier qu'on appelle degré de $f$.

Évidement ça suppose avoir prouvé que $\pi_1(\mathbb{S}^1)$ c'est $\mathbb{Z}$, donc en fait cette définition est inopérante tant que tu n'as pas prouvé ça. Pour les lacets on peut faire comme j'ai dit plus haut, tu as besoin du théorème de relèvement (avec le relèvement des homotopies aussi, [small]en langage moderne on dit que $\mathbb{R} \to \mathbb{S}^1$ est une fibration, les homotopies dans l'espace du bas se relèvent dans celle du haut, ici tu as même plus que ça, ce relèvement est unique une fois les conditions de départ fixées[/small]).

Une fois que tu as ça, c'est facile de voir que $\pi_1(\mathbb{S}^1)$ est isomorphe à $\mathbb{Z}$. Il ne l'est pas canoniquement cela dit, si tu regardes bien cela vient du fait qu'on a choisi une orientation privilégiée sur le cercle pour relever nos lacets, on aurait pu les relever dans l'autre sens (cela revient à voir le cercle comme $\exp(-i2\pi \mathbb{R})$ au lieu du signe positif usuel). C'est un fait assez important en fait, l'orientation et le degré sont des notions liées.

Une fois que tu sais ça, tu peux vérifier que si $\alpha$ est un lacet de degré $n$ au sens de la définition valeur en $1$ de l'unique relevé, il induit bien en tant qu'application $\mathbb{S}^1\to \mathbb{S}^1$ la multiplication par $n$ sur $\pi_1(\mathbb{S}^1)$ de sorte que les deux définitions coïncident.

En pratique on va faire la même chose pour $\mathbb{S}^n$ en remplancant $\pi_1(\mathbb{S}^1)$ par $H^n(\mathbb{S}^n,\mathbb{Z})$ ou pour une varié différentielle compacte orientable en prenant là aussi $H^\text{top}(X,\mathbb{Z})$.

[small]Tu as aussi une autre notion de degré, c'est la notion de degré d'un revêtement, qui est liée à ça et qui permet de définir par exemple la notion de degré pour une application holomorphe non constante entre surfaces de Riemann compactes. Mais on s'éloigne un peu du sujet.[/small]

Tes trois définitions sont la même définition et la même que celle que j'ai déjà donné au tout début.

Une application (continue) de $\mathbb{S}^1$ dans lui même c'est exactement la même chose qu'un lacet, c'est la propriété universelle du quotient.
En particulier ton tout dernier paragraphe, je ne comprends pas ce que tu veux dire, il y a des trucs faux, du genre

on a bien $p(0)=p(1)$ mais $f\circ p(0)\neq f\circ p(1)$

(??!)

Se donner une application (continue) $f: \mathbb{S}^1\to \mathbb{S}^1$ et $f': I \to \mathbb{S}^1$ telle que $f'(0)=f'(1)$ c'est exactement la meme chose (enfin tu as une bijection naturelle entre les applications continue sur $I$ prenant la même valeur en $0$ et $1$ et les applications continues sur le cercle donné par $f'\mapsto f'\circ p$ si tu préfères).

Si tu sais définir le degré d'un lacet, alors tu sais définir le degré d'une application de $\mathbb{S}^1$ dans lui même.
Pour le degré d'un lacet, reprendre les messages plus haut: valeur en $1$ de l'unique relevé commençant en $0$.

Maintenant, concernant l'interprétation je t'en ai donné deux.

La première c'est le nombre de points dans la préimage d'un point générique.

Tu as $f: \mathbb{S}^1\to \mathbb{S}^1$ tu prends $y$ dans le "second" $\mathbb{S}^1$ (celui d'arrivée) et tu regardes le nombre de points dans $f^{-1}(y)$. Evidemment ce nombre n'a aucune raison d'être fini en général, ni d'être constant, ca peut être un peu n'importe quoi.

Mais!

Si $f$ est lisse (infiniment différentiable) alors c'est facile de prouver (sur le cercle) que génériquement (sur un ouvert dense) ce nombre est fini et localement constant.
Sur le cercle la preuve est facile, mais dans le cas général, prouver ce truc là est plus difficile, c'est qu'on appelle le lemme de Sard (enfin c'est la partie difficile du point précédent). Sur le cercle on ne peut pas aller beaucoup plus loin (pour des raisons que je peux détailler, mais je ne veux pas t'embrouiller non plus), mais en dimension supérieur c'est une bonne définition du degré et il est utile de l'avoir en tête pour en avoir une intuition.

Edit: je te donnerai des détails sur la seconde interprétions un peu plus tard. Je dois filer.

Ben, justement ce que tu écris ne définit pas une fonction sur le cercle.

Je te dis que les fonctions de $I$ dans $\mathbb{S}^1$ qui verifie $f(0)=f(1)$ sont exactement les fonctions sur le cercle.

Tu prends une fonction $f: I\to \mathbb{S}^1$ qui ne vérifie pas $f(0)=f(1)$ et tu dis qu'elle ne descend pas sur le cercle. Ben oui, mais c'est pas contradictoire avec ce que j'ai dis... au contraire même.

Et ceci

$f(e^{2i\pi t)}=e^{i\pi t}$

ne défini pas de $f$. Il n'existe aucun $f$ qui vérifie ca, c'est pas très étonnant car la fonction $I\to \mathbb{S^1}$ qui à $t$ associe $e^{i \pi t}$ a des valeur différentes en 0 et en 1.

Je ne comprends pas ce qui te pose souci la dedans. C'est la propriété universelle du quotient.

$\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}$$\newcommand{\mbb}{\mathbb}$Je te propose de se focaliser sur pourquoi Maxtimax et moi (et pleins de gens) disent que les fonctions continues sur le cercle "sont" les lacets.
La suite roulera toute seule ensuite normalement.

Ce qu'on veut dire par là, c'est que l'application $p: I\to \mathbb{S}^1$ (toujours la même, l'exponentielle) donne, pour tout espace topologique $X$, une application $p^\star$ de $\Hom( \mathbb{S}^1, X)$ (l'espace des application continues de $ \mathbb{S}^1$ dans $X$) dans $\Hom(I, X)$, qui est définie par $p^\star(f)=f\circ p$. Cette application est injective, et elle n'est pas surjective. Mais elle est surjective dans le sous ensemble des fonctions de $I$ dans $X$ qui vérifient $h(0)=h(1)$.

Ca ne veut absolument pas dire que $f$ est injective (ou surjective ou quoi que ce soit) ssi $p^\star(f)$ l'est. Simplement qu'il y a cette bijection qui permet d'identifier $\Hom( \mathbb{S}^1, X)$ au sous ensemble de $\Hom( I, X)$ constitué des fonctions qui vérifient $h(0)=h(1)$, autrement dit les lacets de $X$.

Quand on dit que c'"est" la même chose c'est ca que ca veut dire. Par ailleurs cette identification est compatible à la post compostiion $g\circ p^\star(f)=p^\star(g\circ f)$ si tu composes par une fonction (continue) $g: X\to Y$.

Quand on dit que c'est la même chose, c'est ca qu'il faut que tu comprennes.

C'est une propriété universelle du quotient.

Autrement dit toute fonction continue sur $I$ vérifiant $h(0)=h(1)$ s'écrit $p^\star(f)$ pour $f$ une fonction sur le cercle unique, et tout fonction $f$ sur le cercle donne une fonction $p^\star(f)$ sur $I$ qui vérifie $p^\star(f)(0)=p^\star(f)(1)$

Je repete que tout ceci n'est que la propriété universelle du quotient.
De la meme manière qu'on identifie les morphismes de groupe abélien de $A/B$ dans un groupe abélien $T$ avec les morphismes de $A$ dans $T$ qui tuent $B$.

Je supposes que tu ne penses pas que cette "correspondance" conserve l'injectivité dans ce contexte.
Pour les espaces topologiques c'est pareil.

En particulier ton contre exemple plus haut n'est pas un "contre exemple" (enfin je sais pas trop bien à quoi tu veux que ce soit un contre exemple), la fonction que tu prends n'est pas un lacet (ca n'est pas une application $I$ dans $\mathbb{S}^1$ qui vérifie $h(0)=h(1)$) et ca n'est pas non plus une fonction du cercle (une fonction qui "descend" sur le cercle, ou "provient" du cercle, c'est à dire une fonction de la forme $p^\star(f)$)

Julia : si l'identité $S^1\to S^1$ se factorise en $S^1\to \mathbb R\to S^1$, alors certainement $p: I\to S^1$ va se factoriser en $I\to S^1\to \mathbb R\to S^q$, ce qui donne un lacet qui relève notre lacet de degré $1$

En d'autres termes : ce serait plus simple si tu abandonnais l'idée qu'il y a une différence entre lacet et application qui part de $S^1$, ça te complique vraiment la vie !!

Peut-on la généraliser à tous les lacets d'un espace topologique $X$ avec toutes les applications de $S^1$ dans $X$, sachant que la topologie de $S^1$ est la topologie quotient de $[0,1]$ ?

Oui, voir ce que j'ai écrit plus haut.

La formule qui donne $f$ en fonction du lacet $\alpha$ est-elle : $f(z)=\alpha(0) z^{\deg (\alpha)}$ ?

Non, très loin s'en faut. Fais un dessin pour voir. Tu devrais être capable de te convaincre assez vite que y a beaucoup (beaucoup) plus d'applications que ça.

Par contre à homotopie près, c'est vrai, tu n'as même pas besoin du $\alpha(0)$.

Tu prouves que $f,g$ sont librement homotopes, i.e. homotopes en s'autorisant à bouger les extrêmités dans l'homotopie. C'est vrai, puisque tout bêtement $I$ est contractile, donc deux applications continues $I\to X$ sont toujours homotopes.

Ce qui est intéressant c'est de regarder les homotopies à extrêmités fixées. Et soudain ton argument ne marche plus (je te laisse trouver des lacets qui se relèvent dans $\mathbb R$ en des chemins qui ont deux extrêmités différentes, et qui en particulier ne peuvent pas être triviaux à homotopie prèservant les extrêmités près)

Si on regarde le point de vue "applications partant se $S^1$", on peut remplacer "extrêmités fixées" par "point base fixé" : c'est pour ça que $\pi_1$ dépend du point base, et pas uniquement de l'espace.

Je ne comprends pas ta question.
Si $f: Y\to \mathbb{S}^1 $ est une application dans $\mathbb{S}^1$, relever $f$ (dans $\mathbb{R}$) c'est choisir un point dans la fibre (du revetement $\mathbb{R}\to \mathbb{S}^1$) au dessus de $f(y)$ pour chaque $y$ tel que l'application qu'on obtient en associant $y$ à ce point choisi dans la fibre soit continue.

Evidement si tu prends $f,g:Y\to \mathbb{S}^1$ deux applications tels que $f(y_0)\neq g(y_0)$ c'est impossible de les relever en $\overline{f}, \overline{g}$de manière à ce que $\overline{f}(y_0)=\overline{g}(y_0)$ puisque $p^{-1}(f(y_0))\cap p^{-1}(g(y_0))=\emptyset$