Règle du parallélogramme et espace normé

llèBonsoir,
J'ai quelques doutes à propos de cette démonstration.
1. Comment est-ce que l'on peut montrer pour les nombres entiers ? J'ai pensé à l'induction mais je ne saurais pas comment faire.
2. Pourquoi on remplace $z=0$ et après $y=y+z$ ? Je vois le but de le faire mais je ne comprends pas l'idée principale.
3. Pourquoi on écrit $\gamma^2\psi(x, \displaystyle{\frac{\beta}{\gamma}}y)$ ?


Un espace normé $\mathbb{X}$ est euclidien si et seulement si pour tout $x, y\in\mathbb{E}$,
$\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)$
Prouver le théorème au cas où $\mathbb{K}$ est réel.

Démonstration:
L'implication à droite est triviale.

Voyons l'autre implication. Suppossons que la norme $\|\cdot\|$ vérifie la règle du parallélogramme. Voyons la fonction

$\psi(x, y)=\displaystyle{\frac{1}{4}}(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2)$

définissant un produit interne de sorte que $\psi(x, x)=\|x\|^2$. Il est inmédiat que

1. $\psi(x, x)=\|x\|^2$, donc il s'agit d'un nombre réel non négatif et il ne s'annule qu'en $x=0$.
2. $\psi(x, y)=\psi(y, x)$.

Il faut étudier les deux autre propriétés. Grâce à la règle du parallèlogramme, nous pouvons écrire

$\|x+y\|^2+\|x+z\|^2=\displaystyle{\frac{1}{2}}(\|x+y+x+z\|^2+\|y-z\|^2)$

$\|x-y\|^2+\|x-z\|^2=\displaystyle{\frac{1}{2}}(\|x-y+x-z\|^2+\|z-y\|^2)$

et si nous soustrayons les égalités, nous obtenons

$\|x+y\|^2+\|x+z\|^2-\|x-y\|^2+\|x-z\|^2=\displaystyle{\frac{\|2x+(y+z)\|^2-\|2x-(y+z)\|^2}{2}}$.

Alors

$\psi(x, y)=\displaystyle{\frac{1}{4}}(\|x+y\|^2+\|x+z\|^2-\|x-y\|^2+\|x-z\|^2)

=\displaystyle{\frac{1}{8}}(\|2x+(y+z)\|^2-\|2x-(y+z)\|^2)=

\displaystyle{\frac{1}{2}}(\|x+\displaystyle{\frac{1}{2}}(y+z)\|^2-\|x-\displaystyle{\frac{1}{2}}(y-z)\|^2)=

2\psi(x, \displaystyle{\frac{1}{2}}(y+z))$.

Si nous remplaçons $z=0$, nous avons l'égalité

$\psi(x, y)=2\psi(x,\displaystyle{\frac{1}{2}}y)$ ~~ $\forall y\in\mathbb{E}$.

Si nous changeons $y=y+z$, nous obtenons $\psi(x, y+z)=2\psi(x, \displaystyle{\frac{1}{2}}(y+z))$ et la deuxième égalité de l'expressin de $\psi(x, y)$ nous donne

$\psi(x,y)+\psi(x,z)=\psi(x, y+z)$.

Maintenant, montrons que $\psi(x, \alpha y)=\alpha\psi(x, y)$ ~~ $\forall\alpha\in\mathbb{R}$

Si $\alpha=\displaystyle{\frac{\beta}{\gamma}}$ est rationnel, alors

$\gamma^2\psi(x, \displaystyle{\frac{\beta}{\gamma}}y)=\psi(\gamma x, \beta y)=\beta\gamma\psi(x, y)$, d'où$\psi(x, \displaystyle{\frac{\beta}{\gamma}}y)=\displaystyle{\frac{\beta}{\gamma}}\psi(x, y)$.

Comme les fonctions $\|x+\alpha y\|$ y $\|x-\alpha y\|$ sont continues au $\alpha$, la définition de $\psi$ nous assure que $\psi(x, y)$ est une fonction continue de $\alpha$. Par conséquent, si $\alpha$ est irrationnel et $\{\alpha_n\}$ est une suite de rationnels tendant vers $\alpha$, on vérifie que

$\psi(x, \alpha_ny)\rightarrow\psi(x, \alpha y)$ ~~ et ~~ $\psi(x, \alpha_ny)=\alpha_n\psi(x, y)\rightarrow\alpha\psi(x, y)$, d'où $\psi(x, \alpha y)=\alpha\psi(x, y)$.

QED