Distance à une boule

Bonjour à tous !
Dans le Hilbert $(\mathbb{R}^n,\|.\|_2)$ de dimension finie, la distance au fermé convexe qu'est la boule unité est toujours atteinte en un unique point.

On a des contre-exemples pour $(\mathbb{R}^n,\|.\|_\infty)$ et $(\mathbb{R}^n,\|.\|_1)$ où la distance peut-être atteinte une infinité de fois.

Qu'en est-il de la norme $\|.\|_p$ en général ?

Je ne sais pas trop comment raisonner comme je les connais moins, merci pour votre aide !