Connexité par arcs
Bonjour à tous !!
S'il vous plaît j'ai une préoccupation concernant la bijection sur un ensemble connexe par arcs et j'ai besoin de votre aide.
On a $(E,O)$ un espace topologique connexe par arcs, $f$ une fonction bijective de $E$ vers $\R$.
Mes camarades l'affirment, mais personne n'arrive à démontrer que $f$ est alors continue.
J'aimerais d'abord savoir si $f$ est nécessairement continue dans ce cas ? Si oui, j'aimerais des éclaircissements s'il vous plaît.
Toute idée est la bienvenue.
S'il vous plaît j'ai une préoccupation concernant la bijection sur un ensemble connexe par arcs et j'ai besoin de votre aide.
On a $(E,O)$ un espace topologique connexe par arcs, $f$ une fonction bijective de $E$ vers $\R$.
Mes camarades l'affirment, mais personne n'arrive à démontrer que $f$ est alors continue.
J'aimerais d'abord savoir si $f$ est nécessairement continue dans ce cas ? Si oui, j'aimerais des éclaircissements s'il vous plaît.
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Réponses
Dom, ma topologie sur R est la topologie usuelle.
S'il vous plaît quelqu'un peut me donner un contre-exemple ?? Genre une application bijective d'un espace connexe par arcs vers R qui n'est pas continue ; je demande parce que de manière naïve on pourrait bien croire que cette propriété (propriété du premier message) est vraie.
Merci d'avance !!
Enfin, la plupart des fonctions sont non continues de toute façon
Dom : Et quand j'écris $2+2=4$, il faudrait que je précise que c'est pour l'addition usuelle de $\Bbb R$ et non, par exemple, l'addition tropicale ? C'est délirant. $\Bbb R$ a une structure canonique de corps topologique ordonné.
Mais, là, dans le sous-forum « Topologie », je me dis que c’est utile de préciser.
On a déjà eu des questions dont le souci était justement lié à cet implicite.
C'est bizarre de spécifier $\mathbb{R}$ si tu n'utilises pas un minimum des propriétés qui le caractérisent.
Alors oui, $\mathbb{R}$ est vraiment "sur typé" (c'est un groupe de lie analytique, un corps totalement ordonné, un corps topologique etc...) on est pas forcement censé supposer qu'il arrive avec tout son package, mais si tu lui laisses que sa cardinalité... reste pas beaucoup quand meme :-D
Dans le contexte « topologie » je pense à l’espace normé mais aussi aux espaces métriques par exemple.
En effet, en terme de structure on a aussi eu des fils où l’on parlait « d’isomorphisme » sans savoir si l’on parlait de groupe, d’anneau, de corps, d’e.v. ... ou que sais-je encore.
Ça éclairera peut-être un lecteur, qui sait ?