Intersection dénombrable d'ensembles ouverts

Salut
Je ne règle toujours pas le problème, mais j'écrirai ce que j'ai pensé en utilisant la suggestion de Poirot. Je comprends que l'idée de prendre d'abord les unions de la famille des ensembles est d'avoir en quelque sorte "la forme de tous les éléments de $U$". Puis, en prenant l'intersection, «j'élimine l'excès d'éléments qui restent de faire les unions» de l'ensemble, c'est-à-dire les éléments dont on ne veut pas et donc on construit l'ensemble $U$.

Pour tout $k\geq 1$, soit $$(V_{k,n})_{n\in \mathbb{N}}=\Big( \frac{1}{k}-\frac{1}{kn},\frac{1}{k}+\frac{1}{kn}\Big)_{n\in \mathbb{N}}.

$$ J'essaye de vérifier que cette famille remplit cela $$U=\bigcap_{n\in \mathbb{N}}\Big(\bigcup_{k\in \mathbb{N}} V_{k,n}\Big).

$$ Je peux voir ça, $$\bigcup_{k\in \mathbb{N}} V_{k.n}=\bigcup_{k\in \mathbb{N}}\,\Big] \frac{1}{k}-\frac{1}{kn},\frac{1}{k}+\frac{1}{kn}\Big[=\Big]\color{red}{\frac{1}{1}}-\frac{1}{n}, \color{red}{\frac{1}{1}}+\frac{1}{n}\Big[ \cup \left] \color{red}{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2n}, \color{red}{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2n}\right[ \cup \Big] \color{red}{\frac{1}{3}}-\frac{1}{3n}, \color{red}{ \frac{1}{3}}+\frac{1}{4n}\Big[.

$$ Ces nombres qui sont en rouge, sont juste les seuls dont j'ai besoin pour apparaître en $U$. L'union d'ouverture est ouverte, donc si je prends l'intersection, elle devrait éliminer tous les éléments qui sont en excès. Mais je peux bien voir visuellement comment cela se produit. Ou je me trompe ?

Salut,

Pouvez-vous m'aider avec la dernière question sur l'intersection? Excusez-moi si ma question est basique, je ne fais que commencer dans l'étude de la topologie.

Merci beaucoup d'avance.

Merci beaucoup, je pense avoir déjà terminé tous les détails de la démo.