Suite de compacts

Une façon raisonnable de faire un compact, c'est de prendre la réunion d'un nombre fini de boules fermées. Comme tu as le droit à un nombre dénombrable de compacts, tu as en gros le droit à un nombre dénombrable de boules fermées.

Remarque suivante : une boule ouverte, c'est une réunion dénombrable de boules fermées – pourquoi ?

Tout ça pour dire que si tu sais exprimer un ouvert comme réunion dénombrable de boules ouvertes, tu auras fait le gros du travail.

Une réunion de fermés n'a aucune raison d'être fermée. Par exemple, la réunion des $\{1/n\}$, pour $n \in \mathbb N^*$ n'est pas fermée dans $\mathbb R$. Une telle réunion peut même être un ouvert (non pas que ce soit contradictoire avec le fait d'être fermé), comme le montre $]0, 1[ = \bigcup_{n \geq 1} [1/n, 1-1/n]$.

Pour tout problème, voici un guide un peu plus directif (mais c'est exactement ce que te dit de faire Math Coss) :

1) Montre que $L$ peut être écrit comme réunion dénombrable de boules ouvertes (partie de l'exercice qui demande le plus d'imagination si on veut, tu as probablement déjà vu l'argument dans $\mathbb R$ par exemple). Indice : $\mathbb Q^n$ est dense dans $\mathbb R^n$.
2) Montre qu'une boule ouverte est réunion croissante dénombrable de boules fermées, l'une incluse dans l'intérieur de la suivante.
3) Combine les deux points ci-dessus.