Conjecture de Toeplitz

Ton message ne passait sûrement pas à cause des emojis, tu devrais essayer sans.

Voici le mail envoyé à Zephir :

L'idée générale du programme est la suivante :
1) une fonction DETECT [à] qui en entrée on donne un polygone et le programme détecte les points qui sont sommets d'un carré qui y est inscrit ;

2) une fonction ENTAILLE qui en entrée prend 
 _un polygone  non croisé poly_entree := A_1 A_2 ... A_n 
 _un point P qui est sur une arrête du polygone  sans être un sommet
_un segment [P_1,  P_2] inclus dans le polygone qui contient P et ne contient aucun sommet du polygone 
_un point Q intérieur au polygone tel que poly_sortie =  A_1 A_2 ... P_1 Q P_2 ... A_n soit un polygone non croisé.
Et en sortie donne poly_sortie, s'il existe ;

Si poly_a est un polygone non croisé on peut appliquer ENTAILLE  à poly_a en un point qui est sommet d'un carré (détecté par DETECT) inscrit suivant un segment et un point intérieur convenable de telle sorte qu'on peut appliquer la même opération et obtenir un troisième polygone et ainsi de suite... on a alors une " liste convenable " (une liste n'est pas convenable par exemple si tous les carrés inscrits dans un polygone sont des sommets de ce polygone ... mais je donnerai plus tard un cadre plus précis de ce programme général qui assure l'obtention de liste convenables) ;

3)  une AIRE qui prend en entrée un polygone et qui donne l'aire du plus grand carré inscrit dans le polygone ; 

4) une fonction Fct_4  qui va détecter les éventuels carrés émergeant d'une suite convenables tels que le  AIRE  de chaque terme décroît vers un très petit nombre. 
En pratique la fonction prend en entrée un polygone dont le AIRE vaut epsilon et retourne un f(epsilon)-carré d'aire supérieure à g(epsilon) s'il y en a.

f et g étant des fonctions croissantes de R dans R qu'on pourra définir selon nos besoins ...
Un x-carré (pour tout réel x) est un quadrilatère ABCD dont les diagonales se coupent en O et  tel que |angle(ABC)-pi/2| + | angle (BCD) -pi/2| + |angle |(CDA)-pi/2| + | angle (AOB)-pi/2|\leq x 
(En particulier un 0-carre est un carré).

Voici le cadre général, cependant je vais donner un cadre plus précis (et  sans doute plus facile à programmer) qui va m'assurer qu'on a des suites convenables.
On se place dans C identifié à un espace affine de dim 2 d'origine O 
Soit j un vecteur de module 1 formant un angle de pi/3 avec la demi droite des réels positifs (j est donc une  racine cubique de l'unité).
E_(n,p) avec n et p entiers>0  est par définition l'ensemble des points M tels que OM =  (a/2^n) + (b/2^n)j, avec a et b inférieurs à p×2^n.
E est l'union de tous les E_(n,p), n et p entiers,  on ne peut pas le programmer mais je l'utilise pour abréger et alléger ... parfois j'utiliserai E_n au lieu de E_(n,p) pour les même raisons et aussi parce que seul n variera (on peut fixer p dès le départ, bref ça c'est du détail d'ordre ergonomique).
Les polygones que je vais considérer sont des polygones à sommets dans E qui n'ont qu'un nombre fini de carrés inscrits et dont chaque paire de côtés consécutifs forme un angle de pi/3 modulo pi. Appelons un polygone qui vérifie ces conditions un "bon polygone".
La fonction DETECT qui détecte les carrés inscrits est définie plus haut mais la fonction ENTAILLE  est plus précise, on utilise ces deux fonctions dans la procédure suivante.
En entrée on donne un polygone poly_e et un sommet S de poly_e et un entier n, la fonction DETECTE donne alors le "prochain" point qui est sommet d'un carré inscrit dans poly_e qui ne soit pas un sommet de poly_e. Le "prochain" signifie que si on donne à S une abscisse curviligne 0 et à tous les autres points une abscisse curviligne strictement positive, le "prochain" est  celui dont l'abscisse curviligne est la plus petite. 
L'entaille est réalisée autour de ce point, et les point Q P_1 et P_2 (cf définition de ENTAILLE)  sont tels que QP_1P_2 est équilatéral et appartienne à E_m pour le plus petit m>n tel  que le polygone obtenu soit un bon polygone poly_s.
En sortie on obtient ce polygone, le sommet P_2, et l'entier n+1.

On peut appliquer cette opération  indéfiniment (car 4 sommets d'un carré non trivial ne peuvent être tous dans E).
Dans le cas idéal, on obtiendra une suite telle que la fonction fct_4 qui détecte les carrés émergeant... n'en détecte pas. 
Si ça n'est pas le cas (faut pas rêver) on peut aussi modifier le paramétrage des entailles (toujours en restant dans E et imposant des bons polygones en entrée/sortie) pour cela, plusieurs idées.
Entailler avec des triangles P_1P_2Q de taille  random (en imposant quand même des conditions qui garantissent l'hérédité du processus). 
Ou alors entailler de sorte qu'à chaque étape les figures obtenues soit indistinguable par rotation de pi/3... je motiverai plus tard cette procédure (en fait je n'ai pas d'arguments très tangible juste une vague intuition que ça pourrait aider).
Ou alors,  mais là c'est plus mathématique qu'informatiquement réalisable : on généralise la notion d'entaille et on autorise les extérieures et on effectue une entaille de sorte que le polygone est union de deux courbes brisées homothétiques.
Il y a plusieurs candidats qui me viennent dont on parlera s on a avancé.

On note SF l'ensemble des parties du plan square-free, c'est à dire qui ne contiennent pas quatre points distincts dont les sommets sont ceux d'un même carré. On peut aussi considérer des ensembles maximaux de SF (avec l'axiome du choix tout ensemble de SF est contenu dans un élément SF maximal, au sens où tout ensemble le contenant strictement n'est pas dans SF)
La conjecture équivaut à l'existence d'un SF maximal qui contient une courbe fermée simple.

C'est une paraphrase un poil redondante lol (plutôt que demander si une courbe est SF) et en plus on a ajouté l'axiome du choix, mais l'intérêt de le prendre sous cette angle me semble être les éventuelles résolutions de cette question modulo l'mpôt de conditions sur les SF (et non sur la courbe comme il est naturel de le faire)
Je n'ai cependant aucune idée de quelles conditions seraient pertinentes à imposer lol
En plus il peut y avoir des ambiguïtés sur la définition de maximal dans le cas où on impose des conditions.
Par exemple considérons les (éléments de) SF qui sont réunions de segments (ou d'arcs..., ou d'arc C_1, etc.) (appelons ça des SFS). Si un SFS, $M$, est tel que quel que soit un segment $s$ non inclus dans $M$ , $M\cup s$ n'est pas SFS (i.e. pas SF) est-ce que $M$ est pour autant un SF max? Je pense que oui, et c'est peut-être trivial, mais je pose la question non pas parceque cette distinction est pertinente relativement à des résultats tangibles que j'aurais en-tête, loin de là, mais juste pour illustrer la possible ambiguïté de la maximalité d'une part, et surtout parceque d'autre part, je me demandais à quoi pouvais ressembler un SFS max .... je ne dis pas un SFS max typique mais juste un lol, et je ne vois pas trop, je me demande même si c'est très clair que ça existe : je pense que cette question est intéressante si la conjecture est vraie , et que dans ce cas on aurait - peut-être...- une sorte d'impossibilité de trop "faire tourner " un seglent pour le ramener dans la même direction qu'un de ses voisins. C'est un peu flou tout ça désolé, mais c'est une question que je me posais en faveur de la conjecture , il y en a d'autres , beaucoup plus facilement enonçables, que je me suis posées en défaveur de la conjecture... je ne dis pas qu'elles mènent quelque part mais juste que c'est en essayant de trouver un contre-exemple qu'elles me sont venues....je parlerai tout à l'heure d'un jeu transfini à deux joueurs dans le plan, jeu qui généralise la conjecture, où pourront s'illustrer des SFmax dans le but de casser la conjecture (ce qui n'exclut pas que ça aide à montrer des résultats dans sa direction plutot que dans la direction de sa négation mais ça n'est pas la question, oublions cette parenthèse d'ailleurs) je vais d'abord donner un exemple simple et joli d'ensemble SF dense , pour montrer qu'il peut en exister des denses sans utiliser l'axiome du choix .... je ne parle pas de SFmax mais d'un SF juste dense...


Si vous voulez je vous laisser chercher un peu, comme ça je fais une pause (indication : j'en parle deux mails au dessus)

Je vais ouvrir un fil spécial pour le jeu transfini que j ai évoqué dans l'avant dernier post (sans compter celui-ci, i.e. le dernier long* post) en fait je vais plutôt ouvrir deux sujets, celui que je viens de dire, et aussi un autre à propos de l'ensemble SF defini dans le dernier post (le court*) . Car il y a des questions intéressantes qui se posent et qui n'ont pas forcément d'utilité pour la conjecture. Je mettrai les liens ici et je continuerai ici en les utilisant (parfois conjointement) de façon ciblée Toeplizt

*observez que ce post n'est ni long ni court ce qui facilite le référencement astérisqué, ah c'tait assez risqué cet astérisque !