Gradient, jacobienne et matrice hessienne

Ratyl · March 2021

Bonjour, j’ai un petit problème.

Je ne comprends pas comment calculer le gradient, la matrice jacobienne et la matrice hessienne pour le cas du produit scalaire.
Par exemple, pour une fonction de $\R^2$ dans $\R$ je comprends comment ça marche.

Mais pour les questions b et c de l’exercice 2 et 4 et la question c de l’exercice 3 je ne comprends pas les formules trouvées.
(j’ai les résultats mais je ne comprends pas comment obtenir ces formules).
Pouvez-vous me détailler, préciser pour une question.

Par exemple je sais que pour la b de l’exercice 2 on trouve que la différentielle de la fonction est $<2A^t A,h>$ Et je ne comprends pas (pouvez-vous détailler) par ailleurs, je sais trouver le gradient par la suite mais j’ai du mal pour la différentielle.
Merci. 118628

Poirot · March 2021

On a $$Ax = \begin{pmatrix} a_{1,1}x_1 + a_{1, 2} x_2 + \dots + a_{1, n} x_n\\ \dots \\ a_{n,1}x_1 + a_{n, 2} x_2 + \dots + a_{n, n} x_n\end{pmatrix}$$ donc $$||Ax||^2 = \sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n a_{i,j} x_j\right)^2$$ et les dérivées partielles s'en déduisent facilement.

Autre manière de raisonner : Calcule la différentielle de $x \mapsto Ax$ en développant $||A(x+h)||^2 = \langle A(x+h), A(x+h)\rangle$.

math2 · March 2021

Pour le b), je préfère "l'autre manière de raisonner", voire la composition de l'application linéaire $x\mapsto Ax$ avec l'application quadratique $x\mapsto \|x\|^2$ dont le gradient est évident.

Le d) est la somme d'un terme quadratique (dont la différentielle se calcule toujours par un développement comme "l'autre manière" si tu ne connais pas le résultat, d'un terme linéaire (la réponse est alors dans ton cours normalement) et d'un terme constant.

math2 · March 2021

PS : il manque un $x$ dans ta différentielle. Une fois que tu as écrit la différentielle sous une forme $h \mapsto <u,h>$, le gradient (relativement à ta structure euclidienne) est le vecteur $u$.

Gradient, jacobienne et matrice hessienne

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