Variété $\mathcal C^\infty$
Bonjour,
Je dois montrer que $P$ défini par $z = x^2 + y^2 + 1$ est une 2-sous variété $\mathcal{C}^{\infty}$ de $\mathbb{R}^3$ de deux manières différentes.
J'ai d'abord posé $\phi : (x,y,z) \mapsto x^2 + y^2 - z + 1$ (on a donc $P = \phi^{-1}(0)$) et utilisé le théorème de l'image réciproque, c'est-à-dire le fait que $0$ était bien une valeur régulière de $\phi$ (car la différentielle de $\phi$ est bien surjective / $\phi$ est bien une submersion pour tout point de $\phi^{-1}(0)$) (en revanche qu'est-ce qui justifie que la variété obtenue est bien une variété $\mathcal{C}^{\infty}$ ?)
Enfin je bloque sur une deuxième méthode. Quelqu'un a une idée ?
Je dois montrer que $P$ défini par $z = x^2 + y^2 + 1$ est une 2-sous variété $\mathcal{C}^{\infty}$ de $\mathbb{R}^3$ de deux manières différentes.
J'ai d'abord posé $\phi : (x,y,z) \mapsto x^2 + y^2 - z + 1$ (on a donc $P = \phi^{-1}(0)$) et utilisé le théorème de l'image réciproque, c'est-à-dire le fait que $0$ était bien une valeur régulière de $\phi$ (car la différentielle de $\phi$ est bien surjective / $\phi$ est bien une submersion pour tout point de $\phi^{-1}(0)$) (en revanche qu'est-ce qui justifie que la variété obtenue est bien une variété $\mathcal{C}^{\infty}$ ?)
Enfin je bloque sur une deuxième méthode. Quelqu'un a une idée ?
Réponses
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Le théorème usuel pour les sous-variétés te donne la régularité de la sous-variété directement via la régularité de la fonction utilisée. Ici $\phi$ est évidemment $\mathcal C^{\infty}$, donc ta variété est $\mathcal C^{\infty}$.
Une autre méthode courante est de réaliser ta sous-variété comme l'image d'une immersion (avec une condition d'homéomorphisme en plus), ça doit être quelque part dans ton cours. -
Entendu, merci Poirot, je vais creuser de ce côté-là !
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On peut aussi faire le changement de coordonnées $C^{\infty}$, $\psi:(x,y,z) \in \R^3 \mapsto (x,y,z-x^2-y^2-1) \in \R^3$. $\psi$ est un difféomorphisme entre $\R^3$ et $\R^3$, et $\psi$ restreint à $P$ est une bijection entre $P$ et le plan $\R^2 \times \{0\}$. C'est donc la définition d'une sous-variété de $\R^3$. Il n'y a qu'une seule carte.
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En effet, $V$ est une sous-variété de $\R^n$ de dimension $d$, ssi, pour tout $x \in V$, il existe un voisinage ouvert $O_x$ (dans $\R^n$) de $x$, et un ouvert $O'_x$ dans $\R^n$, ainsi qu'un difféomorphisme (donc bijectif, différentiable et de réciproque différentiable) $\psi_x$ de $O_x$ sur $O'_x$, tel que $\psi_x(V)=O'_x \cap W$ où $W$ est un sous-espace affine de dimension $d$ inclus dans $\R^n$.
Ici $O=\R^3$, $O'= \R^3$, $V=P$ et $W=\R^2 \times \{0\}$, et $\psi(x,y,z)=(x,y,z-x^2-y^2-1)$ -
Merci pour ce complément marco !
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