Variété $\mathcal C^\infty$
Bonjour,
Je dois montrer que $P$ défini par $z = x^2 + y^2 + 1$ est une 2-sous variété $\mathcal{C}^{\infty}$ de $\mathbb{R}^3$ de deux manières différentes.
J'ai d'abord posé $\phi : (x,y,z) \mapsto x^2 + y^2 - z + 1$ (on a donc $P = \phi^{-1}(0)$) et utilisé le théorème de l'image réciproque, c'est-à-dire le fait que $0$ était bien une valeur régulière de $\phi$ (car la différentielle de $\phi$ est bien surjective / $\phi$ est bien une submersion pour tout point de $\phi^{-1}(0)$) (en revanche qu'est-ce qui justifie que la variété obtenue est bien une variété $\mathcal{C}^{\infty}$ ?)
Enfin je bloque sur une deuxième méthode. Quelqu'un a une idée ?
Je dois montrer que $P$ défini par $z = x^2 + y^2 + 1$ est une 2-sous variété $\mathcal{C}^{\infty}$ de $\mathbb{R}^3$ de deux manières différentes.
J'ai d'abord posé $\phi : (x,y,z) \mapsto x^2 + y^2 - z + 1$ (on a donc $P = \phi^{-1}(0)$) et utilisé le théorème de l'image réciproque, c'est-à-dire le fait que $0$ était bien une valeur régulière de $\phi$ (car la différentielle de $\phi$ est bien surjective / $\phi$ est bien une submersion pour tout point de $\phi^{-1}(0)$) (en revanche qu'est-ce qui justifie que la variété obtenue est bien une variété $\mathcal{C}^{\infty}$ ?)
Enfin je bloque sur une deuxième méthode. Quelqu'un a une idée ?
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Réponses
Une autre méthode courante est de réaliser ta sous-variété comme l'image d'une immersion (avec une condition d'homéomorphisme en plus), ça doit être quelque part dans ton cours.
Ici $O=\R^3$, $O'= \R^3$, $V=P$ et $W=\R^2 \times \{0\}$, et $\psi(x,y,z)=(x,y,z-x^2-y^2-1)$