Homéomorphe à un produit de variétés ?
Bonjour,
J'ai un ensemble dans $\mathbb{R}^3$ dont l'intersection avec le plan défini par ${z=k}$ est un cercle de centre $(0,k^2,k)$ et de rayon $a + k^4$ ($a$ une constante positive). Je cherche à trouver un produit de $1$-variétés homéomorphe à cet ensemble. Comment procéder ? (je vois bien à quoi ressemble mon objet il me semble que c'est une sorte de sablier déformé et un peu tronqué au niveau du centre puisqu'on a au centre un cercle et non pas un point unique).
De manière plus générale, il me semble que je n'arrive pas à me représenter un produit de variétés.
Merci d'avance !
J'ai un ensemble dans $\mathbb{R}^3$ dont l'intersection avec le plan défini par ${z=k}$ est un cercle de centre $(0,k^2,k)$ et de rayon $a + k^4$ ($a$ une constante positive). Je cherche à trouver un produit de $1$-variétés homéomorphe à cet ensemble. Comment procéder ? (je vois bien à quoi ressemble mon objet il me semble que c'est une sorte de sablier déformé et un peu tronqué au niveau du centre puisqu'on a au centre un cercle et non pas un point unique).
De manière plus générale, il me semble que je n'arrive pas à me représenter un produit de variétés.
Merci d'avance !
Réponses
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Combien de variétés de dimension $1$ connais-tu ? Si tu peux en liater quelques unes (il n'y en aura pas beaucoup), tu peux essayer de voir à quoi ressemble leurs produits, et essayer de voir si certains de ces prosuits ressemblent à ton sablier déformé.
Tu n'auras, de toute façon, pas beaucoup de choix (quelle est la dimension de ton sablier ?) -
Bonjour,
C'est pour $\exists k$ ou $\forall k$ ? À la première lecture, j'ai compris $\exists$ mais $\forall $ a l'air de faire plus sens. Et $k\in\Bbb N$ ou $k\in\Bbb R$ ? (même problème)
Si c'est "$\forall$" et "$\Bbb R$", alors un homéomorphisme adéquat de $\Bbb R^3$ devrait te permettre de montrer que ton ensemble est homéomorphe à un cylindre infini.
Edit : Je n'avais pas vu le message précédent. -
Un petit dessin.
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Tiens j'imaginais une "pente" beaucoup moins abrupte... Je crois que c'est parce que je n'ai que très rarement vu $x\mapsto x^4$ dessiné :-D
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Merci pour vos réponses. Effectivement j'imaginais quelque chose de beaucoup moins abrupte également !
Je me rends bien compte que c'est homéomorphe à un cylindre infini (et je pense même pouvoir le montrer !), mais c'est sur la suite que c'est plus compliqué : comment passer d'un produit d'ensembles à un cylindre ?
Edit : intuitivement, je dirais que c'est associé au fait qu'un cylindre (dimension 2) c'est un cercle (dimension 1) "étiré" le long d'un axe (dimension 1), d'où peut-être une histoire de produit, mais formellement je ne vois pas comment on définit un produit de variétés... -
Comme ça $\mathbb{R}\times S^1$ ?
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Merci pour ta réponse. Et bien je vois bien que c'est ce à quoi je suis censé arriver, mais j'ai du mal à ma représenter mathématiquement ce que c'est ! C'est un produit cartésien "classique" ?
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Oui.
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Un paramétrage de la surface : \[\R\times \R/2\pi\Z\longrightarrow\R^3,\quad (z,t)\longmapsto\bigl((a+z^4)\cos t,(a+z^4)\sin t+z^2,z\bigr).\]C'est un homéomorphisme et même un difféomorphisme sur son image, la réciproque étant \[(x,y,z)\longmapsto \bigg(z,\arg\Bigl(\frac{x+\mathrm{i}(y-z^2)}{a+z^4}\Bigr)\bigg),\] où $\arg:\{w\in\C^*,\ |w|=1\}\to\R/2\pi\Z$ est la réciproque de $\R/2\pi\Z\to\{w\in\C^*,\ |w|=1\}$, $t\mapsto\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}$.
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Merci à tous pour vos réponses !
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