Densité d'un sous-espace
dans Topologie
Voici un exercice rigolo, je le pointe dans IEFD, mais j'ouvre tout de même un fil pour qui veut rédiger
Soit $E$ un espace vectoriel topologique sur $\R$ dont la topologie est définie par la métrique $d$
Est-ce qu'il existe $e>0$ tel que pour tout $L\subset E$,
si $\forall x\in E\exists y\in L: d(x,y)\leq e$,
alors l'espace vectoriel engendré par $L$ est dense dans $E$?
Afin de ne pas gaspiller des numéros, je fais un edit pour garder la même question corrigée de sa faute.
Remarque: je n'avais pas écrit $e$, mais $1$ et Foys a très justement fait remarquer que certaines distances $d$ sont telles que $\forall x,y: d(x,y)<0.3$ par exemple.
Soit $E$ un espace vectoriel topologique sur $\R$ dont la topologie est définie par la métrique $d$
Est-ce qu'il existe $e>0$ tel que pour tout $L\subset E$,
si $\forall x\in E\exists y\in L: d(x,y)\leq e$,
alors l'espace vectoriel engendré par $L$ est dense dans $E$?
Afin de ne pas gaspiller des numéros, je fais un edit pour garder la même question corrigée de sa faute.
Remarque: je n'avais pas écrit $e$, mais $1$ et Foys a très justement fait remarquer que certaines distances $d$ sont telles que $\forall x,y: d(x,y)<0.3$ par exemple.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
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Je l'ai numéroté: http://www.les-mathematiques.net/phorum/profile.php?16,1397Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bonjour,
Contre-exemple: $E=\mathbb{R}$ et $L=\mathbb{Z}$.
Cordialement,
Rescassol -
@Rescassol: l'espace vectoriel engendré par $\{1\}$ est $\R$ tout entier.
Cependant, je dois reformuler la question grace à Foys qui m'a fait remarqué une erreur.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@Rescassol : le $\mathbb R$-espace vectoriel engendré par $\mathbb Z$ dans $\mathbb R$ est plutôt dense dans $\mathbb R$. (:P)
-
Bonjour,
La réponse à la question est non. (édit : ou plutôt ça dépend de $(E,d)$, certains vérifient la propriété et d'autres non) -
Bonjour,
Quand j'ai répondu, l'énoncé disait seulement que $L\subset E$ et ne parlait pas de sous espace vectoriel, me semble-t-il. Dans ce cas, il n'y a pas de raison que $L$ lui-même soit dense.
Cordialement,
Rescassol -
@Rescassol : ayant accès à l'historique des modifications, je peux te confirmer que ça parlait bien de sous-espace engendré dès le premier message.
-
Bonjour,
Alors, j'ai mal lu, ça m'avait échappé, désolé :-X
Cordialement,
Rescassol -
Merci à tous pour vos éclairages et à Calli pour sa prophétie :-DAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bonjour!
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