Suites dans un espace topologique séparé

Bonsoir,
on montre à moindres frais que cet ensemble est compact...
donc fermé !

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C'est très facile en effet si l'on se donne la définition générale d'un compact $K$ par l'axiome de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement ouvert de $K$, on peut extraire un sous-recouvrement fini.
Mais nous, pauvres CPGE, on nous confine depuis quarante ans dans les espaces métriques, puis les espaces vectoriels normés, et nous ne disposons que de la définition séquentielle des compacts de ces espaces. Et avec cette définition, la compacité de l'ensemble en question est moins facile à démontrer. Tiens, serait-ce un exercice-pour-OShine selon Christophe ?
Bonne soirée.
Fr. Ch.

On considère un recouvrement de $K=\{u_n\mid n\in\mathbb{N}\}\cup\{\ell\}$ par des ouverts. L'un de ces ouverts $U$ contient $\ell$, donc il existe $n_0 \in \mathbb N$ tel que $U$ contient tous les $u_n$ pour $ n\ge n_0$. Les $u_n$ pour $n<n_0$ sont en nombre fini, donc sont éléments d'un nombre fini d'ouverts du recouvrement. Ce qui définit un recouvrement fini de $K$ extrait du précédent.

Nora-math écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,2202748,2202788#msg-2202788
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

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Donc on ne montre pas que $U\subset\complement_{E}(\{u_n\mid n\geq 0\}\cup \{\ell\})$ car il faut d'abord nettoyer $U$ :
Soit $F$ la famille finie (pourquoi) des termes de la suite qui sont dans $U$. Alors $U\setminus F$ est encore ouvert (pourquoi ?), contient $x$ (pourquoi ?) et est inclus dans $\complement_{E}(\{u_n\mid n\geq 0\}\cup \{\ell\})$.
Ainsi, $\complement_{E}(\{u_n\mid n\geq 0\}\cup \{\ell\})$ est voisinage de tous ses points.