Groupes fondamentaux

odile0502
odile0502
dans Topologie
Bonjour

On me demande de prouver que les 4 surfaces classiques , S^2 , le tore , la bouteille de Klein et le plan projectif réel sont non homéomorphes 2 à 2 en comparant leurs groupes fondamentaux.

J'ai écrit que le groupe fondamental de S^2 = {1}
Celui du tore = Z x Z
Celui de la bouteille de Klein = produit semi direct de Z par lui-même
Celui de RP^2 = Z/2Z
Est-ce suffisant de dire que ces groupes ne peuvent pas être topologiquement équivalents deux à deux ?
Merci.

Réponses

  • Nicolas H
    Nicolas H
    Faux pour la bouteille de Klein, c'est $ \mathbb Z \times \mathbb Z/2$ (tu peux utiliser Van-Kampen pour le déduire). Les autres groupes sont ok, et c'est suffisant en effet.
  • odile0502
    odile0502
    Merci Nicolas H
    Ces notions sont hyper dures pour moi.

    Connaîtrais-tu un cours sur Internet ou un manuel hyper bien fait pour moi ?
  • odile0502
    odile0502
    Si je peux abuser de votre temps.

    On me demande aussi de prouver les non homéomorphismes précédents par des considérations de rétractation par déformation.

    J'ai dit que pour la sphère : tout lacet sur elle se rétractait en le lacet constant ;
    pour le tore : il se rétracte en un bouquet de 2 cercles ;
    pour le plan projectif réel : il est un disque où on identifie 2 points diamétralement opposés. Ce disque D est la réunion d'un disque ouvert centré en O, noté U et d'un anneau près du bord noté V. V se rétracte sur un cercle ainsi que U inter V mais l'image de U inter V dans la frontière de D inter V s'enroule 2 fois autour du disque.

    Mais la bouteille de Klein, que se passe-t-il pour elle ?
    Je sais qu'on peut la construire à partir d'un carré ou d'un cylindre...
    Merci beaucoup.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Attention le tore ne se rétracte pas sur un bouquet de cercles !
    Mais pas sûr de comprendre ce qui est entendu par "montrer par des considérations de rétracte par déformation" :-S
    Il faudrait montrer que certains trucs se rétractent sur d'autres, mais pas les autres ?
    Dans ce cas là ce que tu fais est insuffisant, puisque tu ne fais qu'une partie du truc.

    Mais puisqu'on te parle d'homéomorphisme (note que la première preuve te donne un résultat beaucoup plus fort - bon en principe seulement, pour des surfaces...), tu peux t'amuser à enlever des points, et à voir que là tu as des problèmes.
    Par exemple le tore privé d'un point se rétracte effectivement sur un bouquet de cercles.
    Et tu peux exploiter ta description du plan projectif si tu le retires un point aussi
    Et la sphère moins un point, c'est aussi très clair
  • odile0502
    odile0502
    Merci.
    La question est posée comme suit.
    " À l'aide des rétractations par déformation montrer que les surfaces S^2, le tore, le plan projectif réel et la bouteille de Klein sont non homéomorphes 2 à 2 ".

    Qu'en est-il pour la bouteille de Klein s'il vous plaît ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Une suggestion de lecture recommandée par une collègue : https://webusers.imj-prg.fr/~ilia.itenberg/enseignement/poly.pdf.
  • odile0502
    odile0502
    Merci Math Coss
  • odile0502
    odile0502
    Excusez moi , je reviens sur ce post,
    J'ai lu le cours conseillé par MathCoss, il est super.
    Mais je ne trouve pas en quoi se rétracte la bouteille de Klein.

    J'aurais envie de dire en 2 bandes de Möbius.
    Est ce correct ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    ça dépend ce que tu appelles 2 bandes de Möbius...

    Essaie de partir du carré qui définit le bouteille de Klein; si tu retires un point central, sur quoi ça se rétracte ?
  • odile0502
    odile0502
    2 plans projectifs.
    Non ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 2

2 Invités