Variétés topologiques
Réponses
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Il s'agit de montrer qu'un point (au moins) ne possède aucun voisinage homéomorphe à $\left]-1,1\right[$. Un critère commode (ici) : si on enlève ce point dans un voisinage, il y a toujours strictement plus de deux composantes connexes (alors que $\left]-1,1\right[\setminus\{0\}$ en a deux).
(On peut utiliser ce critère pour montrer que $\R$ et $\R^2$ ne sont pas homéomorphes.) -
Merci mais excuse moi, je n'arrive pas à appliquer ce que tu me dis à 2 exemples précis de mon exercice.
J'ai la réunion du cercle d'équation (x+1)^2+y^2=1 et du carré [0;1] x [-0.5;0.5] donc tangents au point (0;0)
et j'ai la réunion du carré [0;1] x [-0.5;0.5] avec le segment [0;1] et {0}.
Merci de m'indiquer comment démarrer. -
Dans les deux cas, le carré est vide, n'est-ce pas ?
Pour la réunion $X$ de ce cercle et de ce carré, le point $O=(0,0)$ pose problème : pour tout disque $D$ centré en $0$ de rayon $r<\frac12$, l'intersection $(D\cap X)\setminus\{O\}$ est la réunion de quatre composantes connexes dans l'adhérence desquelles se trouve $O$. Si $X$ était une variété topologique, il existerait un homéomorphisme d'un voisinage convenable de $O$ dans $X$ sur $\left]-1,1\right[$ qui envoie $O$ sur $0$ (une carte), mais ça n'est pas possible puisque $\left]-1,1\right[\setminus\{0\}$ admet deux composantes connexes.
Je suppose que le deuxième exemple était la réunion du carré avec le segment $[0,1]\times\{0\}$. Cette fois, tout voisinage assez petit de $O$ devient, si on supprime $O$, la réunion de trois composantes connexes. Toujours une de trop. -
Oui le carré est vide, excuse moi de ne pas l'avoir avoir précisé.
Je comprends bien ce que tu m'expliques : en fait il faut qu'en chaque point de la surface il y ait le même nombre de directions possibles pour se déplacer. C'est ça ?
Mais alors, pour que ces espaces deviennent des variétés, il suffirait d'enlever ces points qui posent problème ou c'est trop facile ?
[En typographie, on ne met jamais d'espace avant un point ou une virgule, mais toujours après,
et aucune espace ni devant ni derrière une apostrophe. ;-) AD] -
En effet, la réunion du cercle et du carré privée du point $O$ est une variété topologique. Elle admet quatre composantes connexes homéomorphes à $\left]-1,1\right[$ (et à $\R$).
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Merci!
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